1．命题“”的否定是    ★    ．

2．=    ★    ．

3．函数的最小正周期是    ★    ．

4．长方体中，，则与平面所成的角的大小为   ★    ．

5．已知实数满足则的最小值是   ★ ．

6．已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为           .

7. 执行右边的程序框图，若，则输出的   ★    ．

8．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是       .

9．若直线过点，则以坐标原点为圆心，长为半径的圆的面积的最小值是                ．

10．已知集合，在集合任取一个元素，则事件“”的概率是   ★    ．

11．已知、是椭圆+=1的左右焦点，弦过F₁，若的周长为，则椭圆的离心率为    ★    ．

12．等边三角形中，在线段上，且，若，则实数的值是    ★    ．

13．数列的前项和是，若数列的各项按如下规则排列：

，

若存在整数，使，，则    ★    ．

14．若函数满足：对于任意的都有恒成立，则的取值范围是    ★    ．

15．（本题满分14分）

在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，，．

（Ⅰ）求角的值;

（Ⅱ）若，求△ABC面积．

16．（本题满分14分）

在正方体中，分别是中点．

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；

（Ⅱ）若在棱上有一点，使平面，求与的比．

17、（本题满分15分）

为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议。现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生7次考试的成绩．

数学

88

83

117

92

108

100

112

物理

94

91

108

96

104

101

106

（Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；

（Ⅱ）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．

18、(本题满分15分)

已知圆交轴于两点，曲线是以为长轴，直线为准线的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线必过定点，并求出点的坐标；

（Ⅲ）如图所示，若直线与椭圆交于两点，且，试求此时弦的长．

19．（本小题满分16分）

已知函数．

（Ⅰ）若，求的单调区间；

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．

20．（本题满分16分）

已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为(其中均为正整数)．

(Ⅰ) 若，求数列、的通项公式；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若成等比数列，求数列的通项公式；

(Ⅲ) 若，且至少存在三个不同的值使得等式成立，试求、的值．

扬州市2008―2009学年度第一学期期未调研测试试题

高 三 数 学

第二部分（加试部分）

（总分40分，加试时间30分钟）

注意事项：

答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷密封线内．解答过程应写在答题卷的相应位置上，在其它地方答题无效。

1、选修4－2　矩阵与变换

如图矩形在变换的作用下变成了平行四边形，求变换所对应的矩阵．

2、选修4－4　参数方程与极坐标

已知某圆锥曲线的参数方程为（为参数）．

（Ⅰ）试将圆锥曲线的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）以圆锥曲线的焦点为极点，以它的对称轴为极轴建立极坐标系，试求它的极坐标方程．

3、如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，⊥平面ABCD，且，，点E是AB上一点，AE等于何值时，二面角的平面角为．

4、某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为．

（Ⅰ）求比赛三局甲获胜的概率；

（Ⅱ）求甲获胜的概率；

（Ⅲ）设甲比赛的次数为，求的数学期望．

扬州市2008―2009学年度第一学期期未调研测试试题

高 三 数 学 参 考 答 案

2009．01．

1．    2．                      3．                        4．

5．1                                   6．                     7.               8．

9．1                                  10．                        11．                  12．

13．                              14．

15．解：（Ⅰ）由得，，                      3分

，                                 5分

又，∴  。                                                7分

（Ⅱ）由可得，，                               9分

由得，,                                               12分

所以，△ABC面积是                                           14分

16．证明：（Ⅰ）连AC，则AC⊥，

又分别是中点，∴  ，∴  ⊥，                   3分

∵  是正方体，∴  ⊥平面，

∵  平面，∴  ⊥，                     5分

∵  ，∴  ⊥平面，

∵   平面，∴  平面⊥平面；       7分

（Ⅱ）设与的交点是，连，

∵  平面，平面，平面平面=PQ，

∴  ，                                                           10分

∴  ┱=┱=3┱1。                                           14分

17．解：（Ⅰ）；          

；                                  4分

，，                      

从而，所以物理成绩更稳定。                                   8分

（Ⅱ）由于与之间具有线性相关关系，

，                                  11分

线性回归方程为。当时，。                   13分

建议：

进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高。 15分

18．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则：

，从而：，故,所以椭圆的标准方程为。       4分

（Ⅱ）设，则圆方程为                   6分

与圆联立消去得的方程为，           

过定点。                                                              9分

（Ⅲ）解法一：设，则,………①

，，即：        

代入①解得：（舍去正值），                                           12分

，所以，

从而圆心到直线的距离，

从而。                                                   15分

解法二：过点分别作直线的垂线，垂足分别为，设的倾斜角为，则：

，从而，                 11分

由得：，，故，

由此直线的方程为，以下同解法一。                               15分

解法三：将与椭圆方程联立成方程组消去得：,设，则。   11分

，，所以代入韦达定理得：

，                                            

消去得：，，由图得：，                               13分

所以，以下同解法一。                                          15分

19．解：（Ⅰ），其定义域是

令，得，（舍去）。                                         3分

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

即函数的单调区间为，。                                         6分

（Ⅱ）设，则，                          8分

当时，，单调递增，不可能恒成立，                    10分

当时，令，得，（舍去）。

当时，，函数单调递增；                          

当时，，函数单调递减；                                            13分

故在上的最大值是，依题意恒成立，    

即，

又单调递减，且，

故成立的充要条件是，

所以的取值范围是。                                                      16分

20．解：（Ⅰ）由得：，

解得：或，

， ，从而                                   4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，构成以为首项，为公比的等比数列，即：                                                                 6分

又，故，                                         9分

(Ⅲ) 由得：，

由得：；由得：，

而，即：，从而得：，

，当时，不合题意，故舍去，

所以满足条件的.                                                            12分

又，，故，

即：                                                          13分

①若，则，不合题意；                                    14分

②若，则，由于可取到一切整数值，且，故要至少存在三个使得成立，必须整数至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以的最小值为，此时或或12。          16分

扬州市2008―2009学年度第一学期期未调研测试试题

高 三 数 学 参 考 答 案

加试部分

1．解法一：（1）由矩形变换成平行四边形可以看成先将矩形绕着点旋转，得到矩形，然后再将矩形作切变变换得到平行四边形。

故旋转变换矩阵为：　　　　                     　　3分

切变变换：，

切变变换矩阵为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　      　　6分

矩阵，　　　　　　　　　　　　　　　       　　10分

解法二：（1）设矩阵，则点，，

故：，，

即：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                 6分

解得：，　　　。　　　　　　　　　　　                 10分

2．解：（1）由方程的（2）式平方减去（1）式得：　　5分

（2）曲线的焦点到准线的距离为，离心率为，

所以曲线的极坐标方程为　　　　　　　　　　　　　　　  　  　10分

3．解：以D为原点，射线DA、DC、DP为轴正方向建立空间直角坐标系，

设，则，

设平面的法向量为

，　　　  　    5分

记

而平面ECD的法向量，　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　   6分

则二面角D₁―EC―D的平面角

。

当AE=时，二面角的平面角为。　　　　　　　     　　10分

4．解：记甲局获胜的概率为，，

（Ⅰ）比赛三局甲获胜的概率是：；                           2分

（Ⅱ）比赛四局甲获胜的概率是：；

比赛五局甲获胜的概率是：；

甲获胜的概率是：。                                         5分

（Ⅲ）记乙局获胜的概率为，。

，；；

故甲比赛次数的分布列为：

3

4

5

所以甲比赛次数的数学期望是：

。              10分