根的定义用处大

许国泰

    大家知道，

    如果是方程的两个根，则有

    反之，若，则是方程

    例1  已知，则一元二次方程一定有一个实数根x=___________。

    分析  当时，有。根据方程根的定义，一元二次方程一定有一个实数根。

    例2  不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程的两根的5倍。

    分析  通常情况下，本题可利用一元二次方程的根与系数的关系来解。如果利用根的定义来解也比较简单。

    解  设a是方程的一个根，y表示所求方程的一个根，则

    根据方程的根的定义，有

    即

    故所求方程为

    例3  已知方程有一个根是方程的某个根的2倍，求m的值。

    分析  每个方程最多有两个根，若由“方程(1)的一个根是方程(2)的某个根的2倍”及求根公式写出它们的根，则可组合出4个关于m的无理方程，要求m的值显然很繁。利用方程根的定义来解，可以轻松求出m的值。

    解  设与分别是方程的根。

    由根的定义，得

    例4  已知是方程的两实数根，则________。

    分析  代数式不是关于的对称多项式，无法将其化成关于，的代数式来解。由根的定义，知

    所以

    由根与系数的关系，知

    所以

    例5  已知一元二次方程的两根之和为p，两根的平方和为q，两根的立方和为r。求ar+bq+cp的值。

    分析  设的两个根，根据方程根的定义，得

    这时

   所以ar+bq+cp

    例6  已知的值。

    分析  由

    方程两边同时除以，得

    比较可以看成是方程的根。

    又

   故

    所以

    例7  已知，其中m,n为实数，则=_____

    解：由

    （1）当

    （2）当

    例8  设t是一元二次方程的一个实数根，则判别式与平方式的大小关系是___________。

    解  由t是一元二次方程的一个实数根，得

    所以