2009年宁德市普通高中毕业班质量检查
数学（文科）试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳酸笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面的清楚，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
锥体的体积公式：
，其中
为底面面积，
为高；
球的表面积、体积公式：
，
，其中
为球的半径。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合
，则
A.
B. 
C. 
D.
R
2. 为
虚数单位，则复数
在复平面内对应的点在
A. 第一象限 B.
第二象限 C.
第三象限 D.
第四象限
3. 已知命题
，则下列命题正确的是
A. 
B.
C.
D.
4. 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的
的值为
A.
1 B.
5. 函数
的图像大致是
6. 在平面直角坐标系中有四个点；
，若向
内随机投掷一质点，则它落在
内的概率为
A.
B.
C.
D.
7. 不等式组
表示的平面区域的面积是
A.
B.
D.
2
8. 若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则
的值为
A.
3 B.
D.
9. 已知
是不重合的平面，
是不重合的直线，则下列命题正确的是
A.
若
则
B.
若
则
C. 若
则
D.
若
，则
10. 设函数
的部分图像如图所示，则函数
的解析式为
A.
B. 
C. 
D. 
11. 函数
的零点个数为
A.
4 B.
12. 已知函数
，对于正实数
，有下列四个不等式：
①
；②
；③
；
④
。其中一定成立的不等式是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填写在答题卡的相应位置。
13. 直线
被圆
截得的弦长为
14. 某校为了解教师使用多媒体进行教学的情况，随机抽取20名授课教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果如茎叶图所示。据此可估计该校上学期教师使用多媒体进行教学的次数在
内的概率为
15. 设
的内角
所对的边长分别为
，且
，则边长
16. 定义在
上的函数表示的个位数，例如
。数列
中，
，当
时，
则
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程演算步骤。
17. （本小题满分12分）
已知向量
，函数
（I）
求函数的解析式；
（II）
求函数的最小正周期和最大值，并写出使函数取最大值时的集合。
18. (本小题满分12分)
一个多面体的直观图与三视图如图所示，
分别是
中点
（I） 求此多面体的体积；
（II）
求证：
19. (本大题满分12分)
已知数列的首项为2，点
在函数
的图像上
（I）
求数列的通项公式；
（II）
设数列的前
项之和为
，求
的值。
20. (本大题满分12分)
为了解某校学生数学竞赛的成绩分布，从该校参加数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成频率分布直方图，从左到右各小组的小长方形的高之比为1：2：2：20：5，最右边一组的频数是20，请结合直方图的信息，解答下列问题；
（I） 样本容量是多少？
（II） 现用分层抽样的方程在该样本中抽取30个学生的成绩作进一步调查，问成绩在120分到150分的学生有几个？
（III） 已知成绩在120分到150分的学生中，至少有5个是男生，求成绩在120分到150分的学生中，男生比女生多的概率。
21. (本大题满分12分)
已知函数
（I）
若函数的图像在点
处的切线与直线
平行，求实数
的值；
（II）
求函数的单调递增区间。
22. (本大题满分14分)
已知椭圆
的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为1，离心率
，直线
与椭圆交于不同的两点
（I）
求椭圆的方程；
（II）
求线段
的垂直平分线在
轴上的截距的取值范围；
（III）
试问：在轴上是否存在一个定点
，使
为定值?若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由。
2009年宁德市高三质检查
说明：
一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细
则。
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程
度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
13．1 14．
15．5 16．8
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
17．本题主要考查平面向量的数量积，两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，满分12分。
解：
（I）
………………………………………2分
即函数
的解析式为
?????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）
??????????????????????????????????????? 6分
所以函数最小正周期
???????????????????????????????????????????????????? 8分
当
即
时
取最大值
，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
使函数取最大值的
的集合为
???????????????????????????????? 12分
18．本题主要考查空间几何体的直观图、三视图，空间线面的位置关系等基础知识；考察空间想象能力及推理论证能力，满分12分。
解（I）由三视图知这个多面体是一个水平放置的柱体，它的底面是边长为
的正三角形，侧棱垂直于底面且长为 2分
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）连结
四边形
是平行四边形，
过点
。
为的中点，………………………………………8分
又
是
的中点，
，
平面
平面
平面…………………………………………12分
19．本题主要考等差数列、数列求和等基础知识：考查推理论证与运算求解能力；考查化归与转化思想，满分12分。
解（I）点
在函数
的图象上，
数列
是以首项为2公差为2的等差数列，???????????????????????????????????????? 2分
?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）
????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
，????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
???????????????????????? 10分
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．本题主要考查概率与统计的基础知识，考查运算求解能力及应用意识。
满分12分。
解：（I）设样本容量为
，则
，所以
所以样本的容量为120???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅱ）设成绩在120分到150分的学生有个，
则
，所以
????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅲ）设成绩在120分到150分的学生中，男生比女生多的事件记为A，男生数与女生书记为数对（
），则基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），
（10，10），（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），
（18，2），（19，1），（20，0），共16对????????????????????????????????????????????????? 9分
而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），
（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10对。
所以
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
21．本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力及数形结合思想。满分12分。
解：（I）
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
依题意得
??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）
等价于
???????????????????????????????????????????????????? 6分
①当
时恒成立，
的单调递增区间为
?????????????????????????????????????????????????????????? 8分
②当
时，由得
的单调递增区间为
?????????????????????????????????????????????????????? 11分
综上所述：当时的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为???????????????????????????????????????? 12分
22．本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力及化归与转化思想。满分14分。
解：（I）设椭圆E的方程为
由已知得：
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
椭圆E的方程为
?????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）设
，线段
中点
的坐标为
，则：
由
得
化简得：
……5分
直线
过点
而点在椭圆E内，
?????????????????????????????????????????????????????????? 6分
所以PQ中垂直
的方程为：
所以直线在
轴上的截距
??????????????????????????????????????? 8分
??????????????????????????????????????????????????????????? 9分
（Ⅲ）假设存在符号条件的点
，则由（Ⅱ）得：
????????????????????????????????????????????????? 10分
????????????????????????? 11分
所以
?????????????????????????????????????????? 12分
设
即
对于任意实数
，上式恒成立，
所以
????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
得
所以符合条件的点
存在，其坐标为
???????????????????????????????????????????? 14分
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