黑龙江省哈尔滨市第六中学2009届高三第一次模拟考试
数学理科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟；
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．已知集合
，则
为
（ ）
A．
B．
C． 
D．
2．若复数
（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 （ ）
A．－2 B．
3．函数
的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 （ ）
A、
B、 
C、
D、
4．已知向量
，
(1,
)，则
的最小值是
（ ）
A．1 B．
C．
D．2
5．已知数列
为等差数列，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下面给出四个命题：
① 直线
与平面
内两直线都垂直，则
；
② 经过直线
有且仅有一个平面垂直于直线
；
③ 过平面外两点，有且只有一个平面与垂直；
④ 直线同时垂直于平面、
，则∥；其中正确的命题个数为 （ ）
A、0 B、
7．一次文艺演出中，需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯共15只，以不同的点亮方式增加舞台效果，设计者按照每次点亮时，恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同点亮方式的种数是 （ ）
A．28 B．
8．直线
与圆
的位置关系是
（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．与
、
的取值有关
9．已知x，y满足，
的最大值为
，最小值为
，
则a的范围为
（ ）
A 
B 
C 
D 
10．若
,
则
与
的大小关系是
( )
A．
B．
C．
D．不能确定
11．椭圆
的中心、右焦点、右顶点、右准线与
轴的交点依次
为
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
12．如图，已知平面
平面，
、
是平面与平面的交线上的两个定点，
，且
，
，
，
，
，在平面内有一个动点
，使得
，则
的面积的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
把答案填写在答题纸相应位置上．
13．二项式
的展开式中常数项为__________；
14．在四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等且依次为
、
、5，则此四面体ABCD的外接球的半径R为__________；
15．已知
分别为双曲线
的左右焦点，为双曲线左支上的
一点，若
，则双曲线的离心率的取值范围是__________；
16．对于函数
（为常数，且
），给出下列命题：
① 函数
的最小值为-1；
② 函数在每一点处都连续；
③ 函数在R上存在反函数；
④ 函数在
处可导；
⑤ 对任意的实数
且
，恒有
；
其中正确命题的序号是__________；
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
在
中，角
的对边分别为
，
，
，且
；
（1）求角的大小；
（2）当
取最大值时，求角的大小；
18. （本题满分12分）
一袋中装有分别标记着1、2、3、4数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球,
取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为
；
（1）求
时的概率；（2）求的概率分布列及数学期望；
19. （本小题满分12分）
如右图，将一副三角板拼接，使它们有公共边
，且使两个三角板所在平面互相垂直，若
，
，
，
．
（Ⅰ）求证：平面
平面
．
（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值．
（Ⅲ）求
到平面的距离．
20. （本题满分12分）
已知函数
；
（1）
；
（2）若对于任意
，不等式
恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程
在
上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围；
21. （本题满分12分）
已知数列
中，
，且
；
（1）求证：
；
（2）设
，是数列
的前
项和，求的解析式；
（3）求证：不等式
对于
恒成立；（（3）问只理科生做，文科生不做）
22．（本题满分12分）
在△ABC中，
，B是椭圆
的上顶点，l是双曲线
位于x轴下方的准线，当AC在直线l上运动时．
（1）求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；
（2）过定点F(0，
)作互相垂直的直线l1、l2，分别交轨迹E于M、N和R、Q；
求四边形MRNQ的面积的最小值；
哈尔滨市第六中学2009届高三第一次模拟考试
理科数学试卷答案
三、解答题：
17．（本题满分10分）
在中，角的对边分别为，
，
，且
；
⑴求角的大小；
⑵当取最大值时，求角的大小；
解：⑴由，得
，从而
由正弦定理得
，
，
（4分）
⑵
由
得，
时，
即
时，
取最大值
（10分）
18. （本题满分12分）
一袋中装有分别标记着1、2、3、4数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为.
（1）求时
的概率；（２）求的概率分布列及数学期望.
18. 解：（解法一 ）（１）表示取出的三个球中数字最大者为3．
①三次取球均出现最大数字为3的概率
②三取取球中有2次出现最大数字3的概率
③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率
∴
． ……………………………………4分
（２）在
时, 利用（１）的原理可知：
,(
=1,2,3,4)
的概率分布为：
１
２
３
４
=1×＋2×＋3×＋4× = ．…………………………………………12分
（解法二）（１）表示取出的三个球中数字最大者为3．
． ……………………………………4分
（２）在时, 利用（１）的原理可知：
,(=1,2,3,4)
的概率分布为：
１
２
３
４
=1×＋2×＋3×＋4× = ．………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由于平面
平面
，且
，那么
平面
，而
平面，则
………①，又
………②,
………③，所以
平面
，又因为平面
,所以平面
平面；
（Ⅱ）取
中点
，作
于
，连
，则
平面，
为二面角
的平面角。
中，
，则
，
，
，
，
中，
∴二面角的正切值为2；
（Ⅲ）作
于
，则
平面
中，
，
，
，
即
到平面的距离为
。
20． (本大题满分12分)
已知函数．
（1）。
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围。
（3）若关于x的方程在上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围。
解：（Ⅰ）
（1分）
令
得
或
（舍去）
列表得：
为函数在上的极大值,无极小值；（4分）
（Ⅱ）由
，可得
或
即
或
由（Ⅰ）当
时，
，
∵恒成立，∴
∵恒成立，∴
∴的取值范围为：
或
（8分）
（Ⅲ）由
令
（或令
求也可）
则
令
得
或
（舍去）
当
时，
，于是
在
上递增
当
时，
，于是在上递减
而
∴
即
在恰有两个不同实根等价于
由此得：
（12分）
21. （本题满分12分）
已知数列中，，且
（1）求证：；
（2）设，是数列的前项和，求的解析式；
（3）求证：不等式对于恒成立。
（1）
，
又因为
，则
，即
，又
，
，
…………………………………….4分
（2）
，
…….5分
因为
，所以当
时，
….6分
当
时，
，①
，②
①-②：
，
.综上所述，
……………8分
（3）
，
又
，易验证当
时不等式成立；
假设
，不等式成立，即
，两边乘以3得
又因为
所以
即
时不等式成立.故不等式恒成立……………………………………..12分
22．（本题满分12分）
在△ABC中，，B是椭圆的上顶点，l是双曲线位于x轴下方的准线，当AC在直线l上运动时．
(1) 求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；
(2) 过定点F(0，)作互相垂直的直线l1、l2，分别交轨迹E于M、N和R、Q．
求四边形MRNQ的面积的最小值．
(1)解：（解法一）由椭圆方程及双曲线方程可得点B(0，2)，
直线l的方程是
．
，且AC在直线l上运动.
可设
，
则AC的垂直平分线方程为
①
AB的垂直平分线方程为
②
∵P是△ABC的外接圆圆心，点P的坐标(x，y)满足方程①和②.
由①和②联立消去m得：
，即
.
故圆心P的轨迹E的方程为
6分
（解法二）利用直线被圆截得的弦长公式（勾股定理）求轨迹方程也可；
(2)解：如图，直线l1和l2的斜率存在且不为零，设l1的方程为
∵l1⊥l2，∴l2的方程为
由
得
，∴直线l1与轨迹E交于两点.
设M(x1，y1)， N(x2，y2)，则
∴
同理可得：
9分
∴四边形MRNQ的面积
≥
当且仅当
，即
时，等号成立.故四边形MRNQ的面积的最小值为72．12分
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com