2009高考数学前三大题突破训练（一）

立体几何

1．在直四棱住中，，底面是边长为的正方形，、、分别是棱、、的中点.

(Ⅰ)求证：平面平面;

(Ⅱ)求证：面.

2．如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点．

(1)求证：

（2）求点B到平面的距离.

3.如图所示，在三棱柱中，平面，．

（Ⅰ）求三棱锥的体积；

（Ⅱ）若是棱的中点，棱的中点为，

证明:

4．如图，在棱长均为2的三棱柱中，设侧面四边形的两对角线相交于，若⊥平面，.

(1) 求证：⊥平面；

(2) 求三棱锥的体积.

5.如图，在体积为1的三棱柱中，侧棱底面，，

，为线段上的动点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）线段上是否存在一点，

使四面体的体积为？若存在，

请确定点的位置；若不存在，请说明理由.

6．已知三棱柱ABC―A₁B₁C₁的直观图和三视图如图所示，其主视图BB₁A₁A和侧视图A₁ACC₁均为矩形，其中AA₁=4。俯视图ΔA₁B₁C₁中，B₁C₁=4，A₁C₁=3，A₁B₁=5，D是AB的中点。

（1）求证：AC⊥BC₁；

（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；

（3）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值。

7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，点是的中点。

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求证：

8．  如图，在四棱锥中，ABCD是矩形，，， 点是的中点，点在上移动。

（1）      求三棱锥体积；

（2）      当点为的中点时，试判断与

平面的关系，并说明理由；

（3）      求证：

9．如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点．

   （1）求证：PA//平面；

（2）求证：；

（3）求三棱锥的体积．

10．如图6，已知四棱锥中，⊥平面，如图6，已知四棱锥中，⊥平面，

 是直角梯形，，90º，．

（1）求证：⊥；

（2）在线段上是否存在一点，使//平面，

   若存在，指出点的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．

_11.

12．如图所示是一个几何体的直观图、 正视图、俯视图和侧视图C尺寸如图 所示）。

（Ⅰ）求四棱锥的体积；

（Ⅱ）若上的动点，求证：。

13．如图，四边形为矩形，平面,

，平面于点，

且点在上.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）设点在线段上，且满足，

试在线段上确定一点，使得平面.

14．已知四棱柱的三视图如图所示.

（1）画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的

 体积；

（2）若为上一点，平面，

试确定点位置，并证明平面

15.如图是以正方形为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形为截面，且，．

（Ⅰ）证明：截面四边形是菱形；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

16．正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起(如下图)，使A、C点重合于A’点．

 (1)证明：A’DEF；

 (2)当BF=BC时，求三棱锥A’一EFD的体积．

17、已知四棱锥的三视图如下图所示，是侧棱上的动点.

(1) 求四棱锥的体积；

(2) 是否不论点在何位置，都有？证明你的结论；

(3) 若点为的中点，求二面角的大小.

18、（2009广雅期中）如图，已知平面，平面，△为等边三角形，

，为的中点.

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面平面；

(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

19、如图，四棱锥P―ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正

三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。

       （I）求异面直线PA与DE所成的角；

       （II）求点D到面PAB的距离.

20．如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形

（1）求证：AD^BC

（2）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。

1. 证明:(Ⅰ)分别是棱中点

四边形为平行四边形

又

平面……………3分

又是棱的中点

又

平面……………5分

又

平面平面……………6分

(Ⅱ)  ,同理

……………9分

面

又,

又,面,面

面………12分

2. （1）连接BD，由已知有、得

又由ABCD是正方形，得：、     ∵与相交，∴

（2）∵    ∴   又∵     ∴ 点E到的距离，有：    ，

 又由  ，  设点B到平面的距离为，

则 ， 有，， 所以点B到平面的距离为

3. 【解】在中，，，∴．

∵，∴四边形为正方形．

       ----6分

（Ⅱ）当点为棱的中点时，平面．         ------8分

证明如下：

    如图，取的中点，连、、，

∵、、分别为、、的中点，

∴．

∵平面，平面，

∴平面．　　　　    ------10分

同理可证平面．

∵，

∴平面平面．

∵平面，∴平面．   ------12分

4. （1）证明：∵⊥平面，而AO平面 ∴⊥   ………2分

∵,　∴，而BCFE为菱形，则为中点，

∴⊥,  且∴⊥平面.………6分

（2）∥, ∥平面

∴点、到面的距离相等                                     ………8分

   ∵ ，AO=AO

∴AOE≌AOB，得OE=OB ，即EC=FB，

而BCFE为菱形，则BCFE是正方形，                               ……………10分

计算得AO=，的面积等于正方形BCFE的一半，        ……………12分

因此                                   ……………14分

5. 解：（Ⅰ）证明：连结，

侧棱底面ABC，

又.

平面.

又平面，

 . ………（3分）

，

四边形为正方形，

.

， 平面 . …………………………（5分）

又平面，. …………………………………（6分）

（Ⅱ）设在线段上存在一点，使.

，  . ………………………（7分）

又且平面，

由，

知，

解得，存在的中点，使 . ……………（12分）

6. 解：（1）证明：因为主视图和侧视图均为矩形，所以该三棱柱为直三棱柱……1分

又∵俯视图中A₁C₁=3，B₁C₁=4，A₁B₁=5

∴A₁C₁²+B₁C₁²=A₁B₁²

∴∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°

∴AC⊥BC 又∵AC⊥CC₁，CC₁∩BC=C

∴AC⊥平面BCC₁B₁  又∵BC₁平面BCC₁B₁

∴AC⊥BC₁  ………………………………4分

（2）证明：设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE

∵D是AB的中点，E是BC₁的中点

∴DE∥AC₁

又∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁

∴AC₁∥平面CDB₁ ……………………………………………………………8分

（3）∵DE∥AC₁

∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角

在ΔCED中  ED=AC₁=，CD=AB=

CE=CB₁=∴cos∠CED=

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为。……………………12分

7. ⑴

    ∴                                             …………………2

  又

    ∴                                     …………………5

     ∴                                         …………………6

（2）连结交于点，并连结                     …………………7

   四边形为平行四边形

    ∴为的中点                                      …………………8

  又为的中点

     ∴在中EO为中位线，                    …………………10

       ∴          …………………12

8. 解：（1），

（2）当点为的中点时，。

理由如下：点分别为、PD的中点，

。

，

（3）， 

                ，

                ，

                ，点是的中点 

                又   

9. 解（1）证法1：如图，取的中点，连接………1分

∵分别为的中点，

∴      ………2分

∵分别为的中点，∴．

∴．∴四点共面  ………4分

∵分别为的中点，∴．

∵平面，平面，

∴平面           ………6分．

证法2：∵分别为的中点，

∴，  ………2分

∵，∴．………3分

∵，，

∴平面平面．

∵平面，∴平面．………6分

（2）解：∵平面，平面