福建省师大附中2009届高三年级第六次月考测试数学试卷(理)2009.3
姓名_________ 班级_________ 学号____
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分50分，只有一项是符合题目要求的。
1、复数
的实部是（ ）
A．
B．
C．3 D．
2．设
,且
，则锐角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
A．
B. 
C.
D.
4．在等比数列
（ ）
A．
B．
C、
D．
变量
和
的值依次是（ ）
A．2550，2500 B．2550，2550
C．2500，2500 D．2500，2550
6．设
，
，
表示三条直线，
，
，
表示三个平面，给出下列四个命题：
①若⊥，⊥，则∥；
②若
，是在内的射影，⊥，则⊥；
③若，∥，则∥；
④若⊥，⊥，则∥. 其中真命题为（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．③④
将函数
轴对称，则n的最小正值是（ ）
A． B．
C．
D．
8. 已知线性约束条件为：
，则目标函数
的最大值为 （ ）
A.
B.
9. 已知正整数a,b满足
取最小值时的实数对（a,b）是
A．（4，14） B．（5，10） C．（6，6） D．（7，2）
10.
椭圆
与双曲线
有公共焦点，则椭圆的离心率是
A. 
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分20分。
11．某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数(百分制)如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和方差分别为 __________．
12．如图，某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为
.
13．已知函数
数列
满足
，且是单调递增数列，则实数a的取值范围是
．
14．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为
的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、
15．某同学在研究函数
(
R)
时，分别给出下面几个结论：
①等式
在
时恒成立； ②函数 f (x) 的值域为 (－1,1)；
③若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)； ④函数
在
上有三个零点.
其中正确结论的序号有 .(请将你认为正确的结论的序号都填上)
三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分13分）
设
是公比大于1的等比数列，
为数列的前项和．已知
，且
构成等差数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）令
求数列
的前项和
．
17．（本小题满分13分）
长方体ABCD-A1B
ABCD的边长AB=
(1)求证：DE⊥平面BCE；
(2)求二面角E-BD-C的正切值。
18.（本小题满分13分）
已知△ABC中
，
（1）若
，求△ABC是直角三角形的概率；
（2）若
，求△ABC中B是钝角的概率.
19. （本小题满分13分）
在直角坐标系
中，点P到两点
的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
(1)写出C的方程；
(2)设直线
与C交于A，B两点．k为何值时
？此时
的值是多少？
20.（本小题满分13分）
已知二次函数
.
（1）若
，试判断函数
零点个数；
（2）是否存在
，使同时满足以下条件
①对任意
，且
；
②对任意
,都有
。
若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由。
（3）若对任意
且
，试证明存在
，使
成立。
21.选考题：请考生在第（1）、（2）、（3）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。本题满分14分.
（1）. 选修4－4：坐标系与参数方程（本小题7分）
设方程
，（θ为参数）.表示的曲线为C，
(1)求曲线C上的动点到原点O的距离的最小值；
(2)点P为曲线C上的动点，当|OP|最小时(O为坐标原点)，写出OP的参数方程并用直线参数方程求出点P的坐标。
（2）．选修4―2 矩阵与变换（本小题7分）
二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．
（1）求矩阵M；
（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．
（3）（不等式证明选讲）若
，证明
。
一、选择题
1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．A
7．A 8．D 9．B 10.D
二、填空题
11．86；1.6；12.1/6 13.（ 4，8） 14.108 15.(1),（2）,(3)
三、解答题
16．解：（1）由已知得
解得
．设数列
的公比为
，
由，可得
．又
，可知
，
即
，
解得
． 由题意得
． 
．
故数列的通项为
．……………………………6分
（2）由于
由（1）得
=
……………..13分
17．(1)∵
=a， AB=
E为
的中点。
∴
，
DE⊥CE……（2分）
又∵
∴DE⊥EB ，而
∴DE⊥平面BCE…（6分）
(2) 取DC的中点F，则EF⊥平面BCD,作FH⊥BD于H，连EH，则∠EHF就是二面角E-BD-C的一个平面角。……………………（8分）
由题意得 EF=a，在Rt△
中，
…………（10分）
∴
∠EHF＝
.……………………………………………（13分）
18．解：由已知
，
得
，
（1）若
，
。若A是直角，则k=-2；若B是直角，则
k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，则2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率为
（2）若
，且k≠
.区间长度L=6.若B是钝角，则-k(2-k)-3<0, -1<k<3,L′=4. △ABC中B是钝角的概率
k（2-k）+3=0, k=-1,k=3;若C是直角，则2（2-k）+12=0,k=8.故m=3,△ABC是直角三角形的概率为.
求△ABC是直角三角形的概率.
19．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以
为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴
，
故曲线C的方程为
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）设
，其坐标满足
消去y并整理得
，
故
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
，即
．而
，
于是
．
所以
时，，故．???????????????????????????????????????????????????????? 8分
当时，
，
．
，
而
，
所以
． 13分
20．解：（1）
当
时
，
函数
有一个零点；当
时，
，函数有两个零点。…….3分
（2）假设
存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，∴
即 
由②知对
,都有
令
得
又因为
恒成立，
，即
，即
由
得
，
当时，
，其顶点为（－1，0）满足条件①，又
对,都有，满足条件②。
∴存在
，使
同时满足条件①、②。…..8分
（3）令
，则
，
在
内必有一个实根。即
，使
成立。….13分
21．（1）1; (2) 
（2）（1）设M=
，则有
=
，
=
，
所以
且
解得
，所以M=
．…………………………5分
（2）任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P’(x’，y’)．
因为
，所以又m：
，
所以直线l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………7分
．
不等式证明选讲）若
，证明
。
柯西不等式一步可得
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