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内蒙古赤峰二中2009届高三3月统一考试
数学（理）
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一 。选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若
（
表示虚数单位），则复数
在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件
3 .在各项均为正数的等比数列{
}中, 
、
是方程
的两个根，则
的值为
A. 32
B. 
64
D.256
4．设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
A．2 B．
C．
D．
5．已知f(sinx+cosx)=tanx（x
[0,π]），则f (
)等于
A .－
B. －
C. ± D. －或－
6．一台计算机装置的示意图如图所示，其中
、
表示数据入口，C是计算结果的出口．计算过程是由、分别输入正整数
和
，经过计算机运算后由C输出的结果为正整数
．此装置满足下列三个性质：①
；②
；③
．现从输入5、输入6，则输出结果
的值为
A．20
B．
7．棱长为3的正三棱柱内接于球O中，则球O的表面积为
A．36
B．21
C．9 D．8
8．已知A
、B
，以AB为一腰作使∠DAB=
直角梯形ABCD，且
，CD中点的纵坐标为1．若椭圆以A、B为焦点且经过点D，则此椭圆的方程为
A．
B．
C．
D．
9．已知O为直角坐标系原点，P、Q的坐标满足不等式组
，则
的最小值为（ ）
A、
B、
C、
D、0
10 .袋中装有编号从1、2、3、4的四个球，四个人从中各取一个球，则甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率
A.
B.
C.
D.
11.如图所示，O、A、B是平面上三点，向量
在平面 AOB上，P为线段AB的垂直平分线上任一点，
向量
则
?（
）值是
A.
B
12．已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表，
为的导函数，函数
的图像如图所示．若两正数
满足
，则
的取值范围是
-2
0
4
1
-1
1
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案直接填在题中横线上。
13．若
则
14.直三棱柱
中，
，则直线
与平面
所成角的正切值为 。
15．已知函数f(x)= 
在x=1处连续，则
___
16．给出下列四个结论：
①若A、B、C、D是平面内四点，则必有
；
②“
”是“
”的充要条件；
③如果函数
对任意的
都满足
，则函数是周期函数；
④已知点
和直线
分别是函数
图像的一个对称中心和一条对称轴，则
的最小值为2；
其中正确结论的序号是 ．（填上所有正确结论的序号）．
三、解答题：本大题共6个小题．满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题纸的相应位置．
17．（本小题10分）已知向量
＝(1＋cosB，sinB)且与向量
=（0，1）所成的角为
，其中A、B、C为ΔABC的三个内角。
（1）求角B的大小；（2）若AC＝
，求ΔABC周长的最大值。
18．（本小题12分）四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=
，∠ACB=90°。
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角D-PC-A的大小的正切值；
（3）求点B到平面PCD的距离。
19．（本小题12分）袋中有形状大小完全相同的8个小球，其中红球5个，白球3个。某人逐个从袋中取球，第一次取出一个小球，记下颜色后放回袋中；第二次取出一个小球，记下颜色后，不放回袋中，第三次取出一个小球，记下颜色后，放回袋中，第四次取出一个小球，记下颜色后不放回袋中……，如此进行下去，直到摸完球为止。
（1）求第四次恰好摸到红球的概率；
（2）记ξ为前三次摸到红球的个数，写出其分布列，并求其期望Eξ。
20.（本小题满分12分）
已知数列
满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列
满足
，证明：
是等差数列；
（Ⅲ）证明：
21．(本小题满分12分)已知双曲线
的离心率
，过点
和
的直线与原点间的距离为
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）直线
与双曲线交于不同的两点
，且两点都在以
为圆心的同一个圆上，求
的取值范围.
22．（本小题12分）已知函数f(x)＝ax3＋
x2－2x＋c，过点
，且在（－2，1）内单调递减，在[1，
上单调递增。
（1）证明sinθ=1，并求f(x)的解析式。
（2）若对于任意的x1，x2∈[m，m＋3]（m≥0），不等式|f(x1)－f(x2)|≤
恒成立。试问这样的m是否存在，若存在，请求出m的范围，若不存在，说明理由。
（3）已知数列{an}中，a1∈
，an＋1＝f(an)，求证：an＋1>8?lnan（n∈N*）。
一、选择题：
1．D 2．A 3 B 4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 11.A 12.B
二、填空题：
13．12 14．
15 3 16．，①②③④
三、解答题：
17．解：法（1）：①∵
=(1+cosB，sinB)与
=（0，1）所成的角为
∴与向量
=（1，0）所成的角为
∴
，即
（2分）
而B∈（0，π），∴
，∴
，∴B=。 （4分）
②令AB=c，BC=a，AC=b
∵B=，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=
，∵a，c>0。
（6分）
∴a2+c2≥
，ac≤
（当且仅当a=c时等号成立）
∴12=a2+c2-ac≥
（8分）
∴(a+c)2≤48，∴a+c≤
，∴a+b+c≤+
=
（当且仅当a=c时取等号）
故ΔABC的周长的最大值为。 （10分）
法2：（1）cos<，>=cos
∴
， （2分）
即2cos2B+cosB-1=0，∴cosB=
或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B= （4分）
（2）令AB=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周长为
，则=a+c+
而a=b?
，c=b?
（2分）
∴=
=
=
（8分）
∵A∈（0，
），∴A-
，
当且仅当A=时，
。
（10分）
18．解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC
平面AC，∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC
（2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1
∴ΔADC为等边三角形，且AC=1，取AC的中点O，则DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH
由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角
由OH=
，DO=
，∴tan∠DHO=
=2
∴二面角D-PC-A的大小的正切值为2。
（3）设点B到平面PCD的距离为d，又AB∥平面PCD
∴VA-PCD=VP-ACD，即
∴
即点B到平面PCD的距离为
。
19．解：（1）第一和第三次取球对第四次无影响，计第四次摸红球为事件A
①第二次摸红球，则第四次摸球时袋中有4红球概率为
（2分）
②第二次摸白球，则第四次摸球时袋中有5红2白，摸红球概率为
（3分）
∴P(A)=
，即第四次恰好摸到红球的概率为
。（6分）（注：无文字说明扣一分）
（2）由题设可知ξ的所有可能取值为：ξ=0，1，2，3。P（ξ=0）=
；
P（ξ=1）=
；P（ξ=2）=
；
P（ξ=3）=
。故随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
∴Eξ=
（个），故Eξ=
（个） （1
20.解：（1）
，
故数列
是首项为2，公比为2的等比数列。
，
…………………………………………4分
（2）
，
①
②
②―①得
，即
③
④
④―③得
，即
所以数列
是等差数列……………………9分
（3）
………………………………11分
设
，则
…………13分
21．解：（1）设
，
.
整理得AB：bx-ay-ab=0与原点距离
，又
，
联立上式解得b=1，∴c=2，
.∴双曲线方程为
.
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2）设CD中点M（x0，y0），
∴
，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.
联立直线与双曲线的方程得
，整理得（1-3k2）x2-6kmx
.
∴
， 
，
∴
∴
，∴AM⊥CD.
∴
，整理得
，
则
且k2>0，，代入
中得
.
∴
.
22．解：（1）∵
(x)=3ax2+sinθx-2
由题设可知：
即
∴sinθ=1。（2分）
从而a=
，∴f(x)=
，而又由f(1)=
得，c=
∴f(x)=
即为所求。 （4分）
（2）(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在（-∞，-2）及（1，+∞）上均为增函数，在（-2，1）上为减函数。
（i）当m>1时，f(x)在[m，m+3]上递增。故f(x)max=f(m+3)，f(x)min=f(m)
由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-
=
得-5≤m≤1。这与条件矛盾故舍。 （6分）
（ii）当0≤m≤1时，f(x)在[m，1]上递减，在[1，m+3]上递增。
∴f(x)min=f(1)，f(x)max={f(m)，f(m+3)}max
又f(m+3)-f(m)=
=3(m+2)2-
>0（0≤m≤1），∴f(x)max=f(m+3)
∴|f(x1)-f(x2)| ≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1)
≤f(4)-f(1)=
恒成立
故当0≤m≤1原式恒成立。 （8分）
综上：存在m且m∈[0，1]合乎题意。 （9分）
（3）∵a1∈(0，1
，∴a2∈
，故a2>2
假设n=k（k≥2，k∈N*）时，ak>2。则ak+1=f(ak)>f(2)=8>2
故对于一切n（n≥2，n∈N*）均有an>2成立。 （11分）
令g(x)=
得
=
当x∈（0，2）时
(x)<0，x∈（2，+∞）时，(x)>0，
∴g(x)在x∈[2，+∞
时为增函数。
而g(2)=8-8ln2>0，即当x∈[2，+∞时，g(x)≥g(2)>0恒成立。
∴g(an)>0，（n≥2）也恒成立。即：an+1>8lnan（n≥2）恒成立。
而当n=1时，a2=8，而8lna1≤0，∴a2>8lna1显然成立。
综上：对一切n∈N*均有an+1>8lnan成立。
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