转化

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面面平行线面平行线线平行；

主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．?

2.       如图所示，四棱锥P―ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。

(1)求证：BM∥平面PAD；

(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；

(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。

解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，

二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

答案：（1）是的中点，取PD的中点，则

，又

四边形为平行四边形

∥，

∥     （4分）

 （2）以为原点，以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，

在平面内设，，，  由        

由        

是的中点，此时           （8分）

 （3）设直线与平面所成的角为

，，设为

故直线与平面所成角的正弦为                （12分）

解法二：

 （1）是的中点，取PD的中点，则

，又

四边形为平行四边形

∥，

∥     （4分）

 （2）由（1）知为平行四边形

，又

    同理，

    为矩形    ∥，，又

    作故

交于，在矩形内，，

，    为的中点

当点为的中点时，                  （8分）

 （3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为，

直线与平面所成的角的正弦值为    

点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来

3.       如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.

(Ⅰ)求与底面所成角的大小；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法  求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法 

答案：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．

又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．

连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角．

∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．

∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．               ……6分

(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．

建立空间直角坐标系如图，则, ．

由M为PB中点，∴．

∴．

∴，

．

∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC．                              ……4分

(III)．令平面BMC的法向量，

则，从而x+z=0；  ……①,  ，从而． ……②

由①、②，取x=−1，则．   ∴可取．

由(II)知平面CDM的法向量可取，

∴． ∴所求二面角的余弦值为－．  ……6分

法二：（Ⅰ）方法同上                              

（Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，则，又，则，即，

又在中，中位线，，则，则四边形为，所以，在中，，则，故而，

则

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，在中，易得，，

故，所求二面角的余弦值为

 点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强   用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.

4.       如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。

   （1）求BD和面BEF所成的角的余弦；

   （2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。