1（2008年广东卷2）.记等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A．16      B．24      C．36      D．48

〖解析〗，，故．

〖答案〗D．

2（2008年浙江卷6）.已知是等比数列，，则=（    ）

（A）16（）                     （B）16（）        

（C）（）                    （D）（）

〖解析〗由，解得，

      数列仍是等比数列：其首项是公比为，

所以．

〖答案〗C．

3（2007年天津理8）．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）

Ａ．2            Ｂ．4            Ｃ．6            Ｄ．8

〖解析〗是与的等比中项，则_，

又，则，（舍负）．

〖答案〗B．

4（2008年江苏卷10）.将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2   3

4   5   6

7   8   9  10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为         ．

〖解析〗前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．

〖答案〗．

5（2007年浙江文19) .已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程

     的两个根，且≤　(k ＝1，2，3，…)．

    (I)求及 (n≥4)(不必证明)；

    (Ⅱ)求数列{}的前2n项和S_2n．

〖解析〗 (I)方程的两个根为．

当k＝1时，，所以；

当k＝2时，，所以；当k＝3时，，所以；

当k＝4时，，所以；

因为n≥4时，，所以

（Ⅱ）

＝．

6（2007年山东理17）.设数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

〖解析〗(I)

，

．

验证时也满足上式，．

(II) ， ，

，

则，

          ，所以．

7（2008年安徽卷21）．设数列满足为实数

（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；

（Ⅱ）设，证明：;

（Ⅲ）设，证明：

〖解析〗（Ⅰ）必要性 ： ，

                 又  ，即

充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明

        当时，.假设

        则，且

，由数学归纳法知对所有成立

    （Ⅱ） 设 ，当时，，结论成立

         当 时，

          ,由（1）知，所以  且   

（Ⅲ）设 ，当时，，结论成立

 当时，由（2）知

 ．

1（天津市汉沽一中2009届月考文7）．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（    ）

A．64              B．100              C．110              D．120

〖解析〗设公差为，则由已知得，

．

〖答案〗B．

2（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟）．设等差数列的前n项和为，则（    ）

A．18             B．17             C．16             D．15

〖解析〗等差数列中，公差，．〖答案〗A.

3（宁波市2008学年度第一学期期末试卷10）．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从这点开始跳，则经2009次跳后它停在的点所对应的数为（     ）

A．          B．         C．        D．

〖解析〗5―2―1―3―5，周期为4，2009=4×502+1，经过2009次跳后它停在的点所对应的数为2．

〖答案〗B．

4（2008~2009学年福建高考样卷?理）．已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是（    ）

A．　 Ｂ．　  Ｃ．    Ｄ．

〖解析〗设公比为，，由或，所以取值范围为．

〖答案〗D．

5（2008~2009学年福州质检?理）．，则               

〖解析〗

．

〖答案〗2236．

6（温州十校2008学年度第一学期期中高三数学试题理）.已知数列的前n项的和满足,则=         .

〖解析〗由条件得：， ，则，时，．

〖答案〗．      

7（浙江省杭州市2009年第一次高考科目教学质量检测数学试题卷理科）.数列中，，（是不为零的常数，），且成等比数列．

（1）求的值；

（2）求的通项公式；

（3）求数列的前项之和．

〖解析〗（1），，，

因为，，成等比数列，

所以，                                  

解得或．                                       

∵c≠0，∴．                                        

（2）当时，由于

，，，

所以．              

又，，故．

当时，上式也成立，

所以．                             

（3）令                            

……①

……②

①-②得：                                 

8(一中2008-2009月考理18）．已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

（1）令求证数列是等比数列;

（2）求数列的通项；

 ⑶ 设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由．

〖解析〗（I）由已知得 

又

是以为首项，以为公比的等比数列.

（II）由（I）知，

将以上各式相加得：

（III）解法一：

存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：

存在，使数列是等差数列.

由（I）、（II）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列．

9（2008-2009学年山东师大附中高三数学模拟考试试题文科数学21）．已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数
（1）用表示；
（2）,若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（3）若数列的前项和，记数列的前项和，求．
〖解析〗（1）由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为

，即   

令，得，即

由题意得，所以

（2）因为，所以

即，所以数列为等比数列故 ---8分 

（3）当时，

当时，

所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为

   ①

①的   ②

①②得

故 ．   

10（广州市越秀区2009年高三摸底调研理21）.已知（m为常数，m>0且），设是首项为4，公差为2的等差数列.

  （1）求证：数列{a_n}是等比数列；

  （2）若b_n=a_n?，且数列{b_n}的前n项和S_n，当时，求S_n；

  （3）若c_n=，问是否存在m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？

若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.

〖解析〗（1）由题意    即

∴                                        

∴      ∵m>0且，∴m²为非零常数，

∴数列{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列                  

（2）由题意，

当

∴   ①           

①式两端同乘以2，得

  ②    

②－①并整理，得

  =

      …10分

（3）由题意

要使对一切成立，即  对一切 成立，

①当m>1时，  成立；                 

②当0<m<1时，

∴对一切 成立，只需，

解得 ，  考虑到0<m<1，    ∴0<m< 

综上，当0<m<或m>1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项.

（一）等差数列、等比数列的通项公式、求和公式的应用以及等差、等比数列的基本性质一直是高考的重点内容，也会是今年高考的重点．对数列部分的考查一方面以小题考查数列的基本知识；另一方面以解答题形式考查等差、等比数列的概念、通项公式以及前项和公式．解答题作为压轴题的可能性较大，与不等式、数学归纳法、函数等一起综合考查学生运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证、运算等能力以及分析问题、解决问题的能力．具体地：

1． 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系．

2．探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求．

3．等差、等比数列的基本知识必考．这类考题既有选择题、填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。

4．求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和．

5．将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且都注重能力的考查．

6．有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点．另外数列与程序框图的综合题也应引起重视．

（二）考点预测题

1（2007年宁夏理4）．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（　　）

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．          Ｄ．

〖解析〗由得a₁=4, 则a₁₀=a₁+9d=4+9d=10，所以．

〖答案〗D．

2（2008年天津卷20）．在数列中，，，且（）．

（Ⅰ）设（），证明是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．

〖解析〗（Ⅰ）证明：由题设（），得

，即，．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

　　　　　　　　，

　　　　　　　　，

　　　　　　　　……

　　　　　　　　，（）．

将以上各式相加，得（）．

所以当时，

上式对显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．

由可得，由得，　①

整理得，解得或（舍去）．于是．

另一方面，，

　　　　　．

由①可得，．

所以对任意的，是与的等差中项．

3（2008年辽宁卷21）．在数列，中，a₁=2，b₁=4，且成等差数列，成等比数列（）

（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：．

〖解析〗（Ⅰ）由条件得

由此可得

．

猜测．

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即

，

那么当n=k+1时，

．

所以当n=k+1时，结论也成立．

由①②，可知对一切正整数都成立．

4（2008-2009学年江苏省盐城市高三数学上学期第一次月考20）．已知数列和满足,,.

(Ⅰ) 当时,求证: 对于任意的实数,一定不是等差数列；

(Ⅱ) 当时,试判断是否为等比数列；

(Ⅲ) 设为数列的前项和,在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得对任意的正

整数,都有?若存在,请求出的取值范围；若不存在,请说明理由.

〖解析〗（Ⅰ）当时,

假设是等差数列,由得,即5=2,矛盾.

故对于任意的实数,一定不是等差数列.

（Ⅱ）当时,.而,所以

 =.

又 .

故当时, 不是等比数列.

当时, 是以为首项,为公比的等比数列.

（Ⅲ）由(Ⅱ)知,当时,,不合要求.

所以,于是,要使成立,

则.

令,当n正奇数时,；当n正偶数时,.

故的最大值为,最小值为.

欲对任意的正整数n都成立,则,即,所以.

综上所述,存在唯一的实数=,使得对任意的正整数,都有.