四川师大附中高2006届高三数学总复习（十二）

§12. 极 限  知识要点

1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确；②假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立.

⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果

①当（）时，成立；

②假设当（）时，成立，推得时，也成立.

那么，根据①②对一切自然数时，都成立.

2. ⑴数列极限的表示方法：

①

②当时，.

⑵几个常用极限：

①（为常数）

②

③对于任意实常数，

当时，

当时，若a = 1，则；若，则不存在

当时，不存在

⑶数列极限的四则运算法则：

如果，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

.

⑷数列极限的应用：

求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为.

（化循环小数为分数方法同上式）

注：并不是每一个无穷数列都有极限.

3. 函数极限；

⑴当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，.

注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.）

如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.

⑵函数极限的四则运算法则：

如果，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

.

（）

注：①各个函数的极限都应存在.

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.

⑶几个常用极限：

①

②（0＜＜1）；（＞1）

③

④，（）

4. 函数的连续性：

⑴如果函数f（x），g（x）在某一点连续，那么函数在点处都连续.

⑵函数f（x）在点处连续必须满足三个条件：

①函数f（x）在点处有定义；②存在；③函数f（x）在点处的极限值等于该点的函数值，即.

⑶函数f（x）在点处不连续（间断）的判定：

如果函数f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f（x）的不连续点.

①f（x）在点处没有定义，即不存在；②不存在；③存在，但.

5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：

⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使.

⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（＜＜）.

⑶夹逼定理：设当时，有≤≤，且，则必有

注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）

6. 几个常用极限：

①

②

③为常数）

④

⑤为常数）