四川师大附中高2006届高三数学总复习（十四）实验修订版

§14. 复 数  知识要点

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.

⑵复数及其相关概念：

①      复数―形如a + bi的数（其中）；

②      实数―当b = 0时的复数a + bi，即a；

③      虚数―当时的复数a + bi；

④      纯虚数―当a = 0且时的复数a + bi，即bi.

⑤      复数a + bi的实部与虚部―a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥      复数集C―全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]

若，则.（√）

②若，则是的必要不充分条件.（当，

时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：.

其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.

由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.

⑵曲线方程的复数形式：

①为圆心，r为半径的圆的方程.

②表示线段的垂直平分线的方程.

③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.

④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设是不等于零的复数，则

①.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

②.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

注：.

3. 共轭复数的性质：

，（a + bi）              

（）                              

注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

4. ⑴①复数的乘方：

②对任何，及有

③ 

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.

②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.

⑵常用的结论：

若是1的立方虚数根，即，则                                                  .

5.  ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：

①.

②若，是纯虚数.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.

注：.

6. ⑴复数的三角形式：.

辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.

注：①为零时，可取内任意值.

②辐角是多值的，都相差2的整数倍.

③设则.

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

，，.

⑶几类三角式的标准形式：

7. 复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：

①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.

②当不全为实数时，不能用方程根的情况.

③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.

8. 复数的三角形式运算：

棣莫弗定理：.