2004IMO(中文版)

1. △ABC 为锐角三角形，AB ≠ AC；以BC为直径的圆分别交AB和AC于M 和N . 记BC中点为

O. ∠BAC和∠MON的角平分线交于R. 求证△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个公共点在

BC边上.

2. 求所有的实系数多项式f，使得对所有满足 ab + bc + ca = 0的实数a, b, c 有

f(a?b) + f(b?c) + f(c?a) = 2f(a + b + c).

3. 定义一个由6个单位正方形构成的“钩”（图传不上：3 X 3 的去掉中心块和一边上连

续的两块，包括由此图经旋转、反射得到的图形）. 定出所有的能被钩覆盖的m×n的矩形

.

4. 设n >= 3. t_1, t_2, ..., t_n > 0 满足

n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ... + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n)

证明t_1, t_2, ..., t_n中随便取3个数都能构成一个三角

5. 凸四边形ABCD的对角线BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD内一点P满足∠PBC = ∠DBA和∠

PDC = ∠BDA. 求证：ABCD是圆的内接四边形当且仅当AP = CP.

6. 称一个正整数为“交替的”，如果它的十进表示的任两个连续数位的奇偶性不同. 求所

有的正整数n，n的某个倍数是交替的.