1.  M 是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r₁、r₂ 分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q 是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的， q₁、q₂分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证： r₁r₂q = rq₁q_2。

2.  已知0 ≤ x_i < b，i = 0, 1, ... ,n 并且 x_n > 0, x_n-1 > 0。如果 a>b，x_nx_n-1...x₀ 是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则 x_n-1x_n-2...x₀ 表示了 A'在a进制下的表示、B'在b进制下的表示。求证：A'B<AB'。

3.  实数 a₀, a₁, a₂, ...满足 1 = a₀ <= a₁ <= a₂ <= ...，并定义

 b_n =∑(1 - a_k-1/a_k)/√a_k

其中求和是k从1到n。

4.  试找出所有的正整数 n 使得集合 {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} 可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。

5.  四面体ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂线的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求证：

(AB + BC + CA)² ≤ 6(AD² + BD² + CD²).

并问何时等号成立？

6.  平面上给定100个点，无三点共线，求证：这些点构成的三角形中至多70% 是锐角三角形。