1. 试找出所有的整数a,b,c满足1<a<b<c并且(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因子。

2. 找出所有定义在实数上并且取值也是实数的函数f使得对所有x,y都有

f(x²+f(y))=y+f(x)²。

3. 空间中有9个点，无4点共面，每两点之间连接一个被染上红色或蓝色或者不染色的线段，试找出最小的n使得，只要恰好有n条线段被染色，这些染色的线段一定包含一个同色三角形（即三角形的三边被染上相同的颜色）。

4. L是圆Γ的一条切线，M是L上的一点，试找出所有这样的点P的轨迹：存在L上的关于M对称的两点Q,R，△PQR的内切圆是Γ。

5. 设S是三维空间中的一个有限点集， 集合S_x,S_y,S_z分别是S在平面yz,zx,xy上的投影，

求证：|S|²<=|S_x|?|S_y|?|S_z|。

其中|A|表示集合A的元素个数。 

[注：一个点到一个平面上正交投影指的是该点到平面作垂线的垂足。]

6. 对正整数n，S(n)是满足如下条件最大的整数：对每个正整数k<= S(n)，n²都可写成k个完全平方数的和。