成都石室中学高2008级一诊模拟考试

数学试卷（理）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.函数的图象        （    ）

  A 关于轴对称     B 关于轴对称       C 关于原点对称        D 关于对称

2.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（   ）

3.已知，则是的                    （    ）

   A．必要不充分条件   B．充分不必要条件   C．充要条件         D．既不充分也不必要条件

4.设是第四象限角，，则              （    ）

  A．               B．               C．             D．

5.已知是不重合的两条直线，是不重合的两个平面，则下列命题

   ①，则                  ②，则

   ③若，则；     ④，则

   其中真命题个数为                                            （    ）

A．0个           B．1个              C．2个          D．3个

6.在等差数列中，若，则的值为 （    ）    

    A．  14           B．  15           C．  16           D．  17

7.如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，

则以下命题中，错误的命题是（　　）

Ａ．点是的垂心         Ｂ．垂直平面

Ｃ．直线和所成角为    Ｄ．的延长线经过点

8.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有                                              （    ）

   A．24种           B．18种             C．12种              D．6种

9.定义域为的函数,若关于的方程恰有个不同的实数解，则等于    （    ）

A．          B．            C．1                 D．0

10.已知是等差数列，若且它的前项和有最大值，则当取得最小正值时，为（  ）

   A．11             B．20              C．19                 D．21

11.设等比数列的前项和为，则，的大小关系是（    ）

   A．        B．             C．        D． 不确定

12．设函数，区间M=[a，b](a<b)，集合N={}，则使M=N成立的实数对(a，b)有                                (      )

(A) 2个         (B)1个         (C)  0个        (D)无数多个

Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）

13.若的展开式中第三项是常数项，则   ，且这个展开式中各项的系数和为____

14.在四面体中，两两垂直，且，则四面体的

外接球的体积为_______

15.已知O是△ABC内一点，的面积的比值为       

16.已知定义在上的函数的图象关于点,对称且满足，，

，则            

第Ⅱ卷（选择题，共90分）

二.填空题：

   13.       ,        ； 14.               ；  15.                 ； 16.                

三.解答题：

17.（本小题12分）已知函数．

   （Ⅰ）求函数的最小正周期；

   （Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．

18.(本小题12分)

如图（1）在直角梯形中，，、、分别是、、的中点，现将沿折起，使平面平面（如 图2）

（Ⅰ）求二面角的大小；

（Ⅱ）在线段上确定一点，使平面，并给出证明过程.

19.(本小题12分)

2008年奥运会即将在北京举行，为了迎接这次奥运盛会某中学从学生中选出100名优秀学生代表，在举行奥运之前每人至少参加一次社会公益活动，他们参加活动的次数统计如图所示从100名优秀代表中任选两名，

（Ⅰ）求他们参加活动次数恰好相等的概率，

（Ⅱ）用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望。

20．（本小题12分）

已知数列的前项和为，且.

（Ⅰ）求证：数列为等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式及前项和，并求；

（Ⅲ）若数列满足：，，求数列的通项公式.

21．（本小题满分12分）

设函数

   （I）当a=2时，求f(x)的极值；

   （II）若不等式对所有的实数R均成立，求a的取值范围.

22．已知函数满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有

    和 ， 其中是大于0的常数.

设实数a₀，a，b满足和

(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)证明；

(Ⅲ)证明.

一．DCBAB   CCBAC   CC

二．13．6，1       14.       15.      16. 1

三.17．解：（Ⅰ）．最小正周期为．

   （Ⅱ）函数在区间上的最大值为，

最小值为

18. 就是二面角的平面角.

在中，

，即二面角的大小为.

(2) 当点是线段的中点时，有平面.证明过程如下:

为的中点,∥,又∥,∥,从而、、、四点共面．在中，为的中点，

，又平面，，

，又，平面，即平面. 

解法二:（1）建立如图所示的空间直角坐标系设平面的法向量为,则

,取

又平面的法向量为所以

即二面角的大小为.

（2）设则

又,平面点是线段的中点.

19．① ………………6分

②可能取值为0，1，2，则                               ………………7分

， ……10分

随机变量的分布列为

ξ

0

1

2

P

                                                                                                  ………………11分

                   ………12分

20.解：（I）将代入已知，整理得 --3分

又由已知，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列. ----------4分

（II）由（I）的结论可得， ∴.     -----------5分

当时，，

由已知，∵当时， ，∴ .  -----7分                         ------8分

（III）由，得，由此式可得

，，，.

把以上各等式相加化简得   ，   --------10分

∴---------12分

21．解：当a=2时，

设得，那么

当x变化时及变化情况如下表

x

()

－1

(－1，1)

1

()

+

0

－

0

+

极大值

极小值

   （II）若不等式对所有的实数R均成立，

即恒成立，

设g(x)=  ，

时或x=1(列表略)

易知时g(x)取极大值，x=1时g(x)取极小值，

且当时，即g(x)>0

因而g(x)最小值为，解得0<a<ln3

（22）证明：（1）任取，则由 ①

和 ②

可知，，从而；

假设有，使得，则由①式知，，矛盾，因此不存在，使得。

（2）由 ③可知

 ④

由和①得， ⑤

由和②得，              ⑥

将⑤⑥代入④得；

（3）由③式可知，

          （用②式）

                 （用①式）

。