2009年福建省三明市普通高中毕业班质量检查
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚。
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据
，的标准差
锥体体积公式
其中
为底面面积，
为高
其中
为样本平均数
球的表面积、体积公式
柱体体积公式
其中为底面面积，为高
其中
为球的半径
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡上。
1．复数
等于
A．
B．
C．
D．
2．双曲线
的渐近线方程是
A．
B．
C．
D．
3．在
中，已知
为
的中点，则下列向量与
同向的是
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的图象，（部分）如图所示，则
的解析式是
A．
B．
C．
D．
5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
6．某市教育部门通过调查10000名高中生参加体育锻炼的状况，根据调查数据画出了样本分布直方图（如上图），为了分析学生参加体育锻炼与课程学习的关系，采用分层抽样的方法从这10000人再抽出100人做进一步调查，则在每周参加体育锻炼的时间落在
小时内的学生中应抽出的人数为
A．15
B．
7．已知函数
在定义域
内可导，其图象如图，记的导函数为
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
8．设
、
是不同的直线
、
、
是不同的平面，有以下四个命题
①
； ②
； ③
；④
其中正确的是命题是
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
9．若
，命题
；命题
直线
与圆
相交，则
是
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．如果两个位数相同的自然数恰好只有某一数位上的数字不相同，则称这两个数为相邻数，例如：123与103、5555与5565分别是两个相邻数，若集合
中的元素均为两位数，且任意两个数都不是相邻数，则中的元素最多有
A．8个 B．9个 C．11个 D．12个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。
11．若正数
、
满足
则
的最大值为____________。
12．在亚丁湾某海域有一执行任务的甲军舰获悉，其正东方向距离20海里处，有一艘货轮遇海盗袭击等待营救，甲舰南偏西30°距离10海里处有一艘乙舰，甲、乙两舰共同实施救援行动，此时乙舰与货轮的距离是___________海里。
13．由曲线
所围成的封闭图形的
面积为__________。
14．运行如图所示的程序流程图，则输出的值为______
_______。
15．已知集合
，直线
的斜率为
，且
，令
则
__________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分）
如图，过原点且倾斜角为
的直线交单位圆于点
是单位圆与轴正半轴的交点，
是
单位圆上第二象限的点，且
为正三角形
（I）求
与
的值；
（Ⅱ）现向单位圆内随机投掷一个点，求该点落在
内的概率。
17．（本小题满分13分）
某市为提高城市品位，计划对市内现有全部出租车进行更新换代，在引进新车型的同时淘汰等量的旧车型，现决定2009年1月份更新
辆，以后每个月更新的车辆数比前一个月多辆，两年时间更新完毕。
（I）问该市的出租车共有多少辆？
（Ⅱ）若从第二个月起，每个月以10%的增长速度进行更新，至少需要多少个月才能更新完毕？（参考数据：
）
18．（本小题满分13分）
如图，在长方体
中，
，点
在
侧面
内，
、
分别为
、
的中点。
（I）求证：
平面
；
（Ⅱ）求平面
与平面
所成角的余弦值；
（Ⅲ）若
，当为何值时，
面
。
19．（本小题满分13分）
已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，离心率
，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点
是线段
上的一个动点，且
，求的取值范围；
（Ⅲ）设点
是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点
，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。
20．（本小题满分14分）
已知函数
（I）若
时，求的极值；
（Ⅱ）若存在的单调递减区间，求的取值范围；
（Ⅲ）若图象与轴交于
，
的中点为
，
求证：
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如
果多做，则按所做的前两题记分。
（1）（本小题满分7分）选修4-2；矩阵与变换
已知矩阵
，向量
（I）求矩阵的特征值
、
和特征向量
、
；
（Ⅱ）求
的值。
（2）（本小题满分7分）选修4―4；坐标系与参数方程
以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位
的极坐标方程为
，
的参数方程为
（为参数），求、的公共弦的长度。
（3）（本小题满分7分）选修4―5；不等式选讲
若函数
的最小值为2，求自变量的取值范围
2009年三明市普通高中毕业班质量检查
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．B 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．A 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11．5 12．
13．
14．7 15．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
16．解：（I）由三角函数的定义可知
又
为正三角形，
（Ⅱ）
圆的面积为
。
该点落在
内的概率
17．解：（I）依题意，每个月更新的车辆数构成一个首项为
，公差为的等差数列，设第
个月更新的车辆数为
，则
该市的出租车总数
（辆）
（Ⅱ）依题意，每个月更新的车辆数构成一个首项为，公比为1.1的等比数列，则第
个月更新的车辆数
，设至少需要
个月才能更新完毕，
个月更新的车辆总数
，
即
，由参数数据可得
故以此速度进行更新，至少需要37个月才能更新完该市所有的出租车
18．解（I）
，
为等腰直角三角形，
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则
设平面
的一个法向量为
，
则有
得
平面的一个法向量
而
的一个法向量
平面与平面所成的角的余弦值
（Ⅲ）
，
设平面
的法向量为
，则有
平面的一个法向量为
若要使得
面，则要
，即
解得
， 当时， 面
19．解法一：
（I）设椭圆方程为
，由题意知
故椭圆方程为
（Ⅱ）由（I）得
，所以
，设
的方程为
（
）
代入，得
设
则
由
，
当
时，有
成立。
（Ⅲ）在轴上存在定点
，使得
、
、
三点共线。
依题意知
，直线BC的方程为
，
令
，则
的方程为
、在直线上，
在轴上存在定点，使得、、三点共线。
解法二：（I）同解法一。
（Ⅱ）由（I）得，所以。
设的方程为
代入，得
设则
当时，有成立。
（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。
设存在
使得、、三点共线，则
，
，
即
，
。
所以，存在，使得、、三点共线。
20．解：（I）
当
时，
由
或
。
x
(0,1)
1
+
―
单调递增
极大值
单调递减
时，
，无极小值。
（Ⅱ）
存在单调递减区间，
在
内有解，即
在内有解。
若
，则
，在单调递增，不存在单调递减区间；
若
，则函数
的图象是开口向上的抛物线，且恒过点（0，1），要
使在内有解，则应有
或
，由于，
；
若
，则函数
的图象是开口向下的抛物线，且恒过点（0，1），
在内一定有解。
综上，或。
（Ⅲ）依题意：
，假设结论不成立，
则有
①―②，得
由③得，
即
设
，则
，
令
，
在（0，1）上为增函数。
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