广东省湛江师范学院附中2009年高考模拟试题(14)

数学

一.选择题:(每小题5分,共40分)

1.若复数是纯虚数(是虚数单位，是实数)则

A.2                   B.0.5             C.-0.5             D.-2

2.函数，则

    A.0                   B.1               C.2                 D.

3.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩

分别是X_甲、X_乙，则下列结论正确的是                      

A.X_甲<X_乙；乙比甲成绩稳定

B.X_甲>X_乙；甲比乙成绩稳定

C.X_甲>X_乙；乙比甲成绩稳定

D.X_甲<X_乙；甲比乙成绩稳定

4.下面四个命题：

　　①“直线∥直线”的充要条件是“平行于所在的平面”；

②“直线⊥平面内所有直线”的充要条件是“⊥平面”；

③“直线、为异面直线”的充分不必要条件是“直线、不相交”；

④“平面∥平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”；

其中正确命题的序号是

   A.①②              B.②③              C.②④              D.③④

5.公差不为0的等差数列中，有，数列已知是等比数列，且

则=   A.2               B.4               C.8                D.16

6.在△ABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边，设向量，

若,则角A的大小为

A.                B.                  C.                D.

7.已知，若=

A.2006               B.4                   C.                  D.－4

8.曲线与直线两个公共点时，实效的取值范围是

A.          B.           C.          D.

二.填空题:(每小题5分共30分)

9.若，则的值为________.

10.在△ABC中,,若以A，B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_  ．

11.以下命题：① 二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；

   ② 过圆上的点与圆相切的直线方程是；

   ③ 平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；

   ④ 抛物线上任意一点到焦点的距离都等于点到其准线的距离.

其中正确命题的标号是           .

12.右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是_______.

13.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系下，直线

 与圆的公共点个数是_____．

14.(不等式选讲选做题)设a，b ÎR^＋，且a+b =1，

则的最大值是_______.

15.(几何证明选讲选做题)如图所示,AB是半径等

于3的圆O的直径，CD是圆0的弦,BA，DC的

延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=_____．

.

三.解答题:(共6小题,要求写出必要的解答过程或演算过程)

16.(12分)在中， 的对边分别是，且满足.
(1)求的大小；
(2)设m，n，且m?n的最大值是5，求的值.

17.(12分)有编号为的个学生，入坐编号为的个座位．每个学生规定

坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知时，共有 种坐法．
(1)求的值；
(2)求随机变量的概率分布列和数学期望．

18.(14分)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD

的中点.

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；

(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.

19.(14分)动圆P与定圆均外切，设P点的轨

迹为C.

(1)求C的方程；

(2)过点A(3,0)作直线l交曲线C于P、Q两点，交y轴于M点，若

当的取值范围.

20.(14分)已知，其中e是自然常数，

(1)讨论a=1时,的单调性、极值；

(2)求证：在(1)的条件下,;

(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

21.(14分)已知f(x)为二次函数，不等式f(x)+2<0的解集为，且对任意，恒有

. 数列满足，.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设，求数列的通项公式；

(3)若(2)中数列的前项和为，求数列的前项和.

1.A   2.B   3.A   4.D   5.D  6.B   7.C   8.D   9.   10.   11.②④

12.0.75   13.2    14.   15.30⁰

16.(1)， ，

即                ………………3分

  .   

                                            ………………6分

(2)m?n=，                  ………8分

设则.则m?n=  …10分

时，m?n取最大值.

依题意得，(m?n)=                        …………12分

18．解：(1)当时，有种坐法，  ……2分   ，即，

，或（舍去）．   ．                    …………4分

(2)的可能取值是，又， ，   

  ，，                    ………………………8分

的概率分布列为：

P

…………………10分

则．                               …………………12分

18.(1)证：取CE的中点G，连FG,BG.

∵F为CD的中点，∴GF∥DE且. …………1分

∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

∴AB∥DE，∴GF∥AB.                  …………2分

又，∴GF=AB                …………3分

∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥B   …………4分

∵平面BCE，平面BCE，∴AF∥平面BCE.                     …………5分

(2) 证：∵为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD                …………6分

∵DE⊥平面ACD，平面ACD，∴DE⊥AF                              …………7分

又，故AF⊥平面CDE.                                       …………8分

∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.                                             …………9分

∵平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.   　　                         …………10分

(3) 解：在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连BH.  ∵平面BCE⊥平面CDE，

∴FH⊥平面BCE.∴为BF和平面BCE所成的角.                   ………12分

设，则，

，Rt△中，.

∴直线和平面所成角的正弦值为　　　                        ………14分

19.解:(1)，动圆的半径为r，则|PQ₁|=r+3，

|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，                                            ……………3分

点P的轨迹是以O₁、O₂为焦点的双曲线右支,a=1,c=2,方程为  ……6分

(2)设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),当k不存在时,不合题意.直线PQ的方程为y=k(x-3)

则

                                                          ………………8分

由

、         ……10分

                     …………14分

20.解：(1)，                              ……1分

∴当时,,此时单调递减,当时,,

此时f(x)单调递增,∴f(x)的极小值为f(1)=1                                   ……4分

(2)f(x)的极小值为1,即f(x)在上的最小值为1,∴ ,      …5分

令，，                                    ……6分

当时，，在上单调递增                            ……7分

∴  ∴在（1）的条件下，  ……9分

(3)假设存在实数，使（）有最小值3，

                                                     ……10分

① 当时，f(x)在上单调递减，，（舍去），所以，此时f(x)无最小值.                                                       ……11分

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件                               ……12分

③ 当时,在上单调递减,，（舍去）,所以,此

时f(x)无最小值.综上,存在实数,使得当时f(x)有最小值3.     ………14分

21.解：(1) 依题设,，即.    …2分

令，则，有，得.   ……4分

即，得.∴ .                     ………5分

(2)，则，即       ………6分

两边取倒数，得，即.                                ………7分

∴数列是首项为，公差为的等差数列.                        ………8分

∴.                                           ………9分

(3) ∵，                              ………10分

∴. ∴.

  ① 当为偶数时，

    .                                    ………12分

   ② 当为奇数时， .

   综上，.                                   ………14分