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    2009 年 湖 南 省 六 校 联 考

    湖南师大附中 长沙市一中 常德市一中 株洲市二中 湘潭市一中

    数学试题（文科）

     

    时量：120分钟   满分：150分

     

    一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

    1．集合等于

                                                                                                                                  （    ）

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           A．{（1，0）}        B．   C．{1，0}               D．

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    2．若向量a，b满足：（a－b）?（2a+b）= －4，且|a|=2,|b|=4，则a与b的夹角等于（    ）

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           A．                   B．                   C．                      D．

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    3．在等比数列中，若，的值是（    ）

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           A．                      B．                    C．                    D．

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    4．圆心在抛物线上，且与该抛物线的准线和x轴都相切的圆的方程是      （    ）

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           A．                     B．

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           C．                   D．

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    5．已知命题p：关于x的不等式的解集为R；命题

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    上为减函数，则p是q成立的                         （    ）

           A．必要不充分条件                                 B．充分不必要条件

           C．充要条件                                           D．既不充分也不必要条件

     

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    6．已知函数在区间上的最小值为―2，则的取值范围是

                                                                                                                                  （    ）

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           A．              B．             C．              D．

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    8．，则不大于S的最大整数[S]等于                                                                    （    ）

           A．2008                   B．2009                   C．2010                   D．2011

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    二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.将答案填在题中横线上.

    9．在的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a=            .

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    10．现有同一型号的汽车50辆，为了了解这种汽车的每耗油1升所行路程的情况，要从中抽出5辆汽车做在同一条件下进行耗油1升所行路程的试验，得到如下数据（单位：km）：11，15，9，12，13，则样本方差是           .

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    11．一名高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此，该学生不能同时报考这两所学校，则不同的报名方法是

               种（用数字作答）.

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    12．若正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为，则该棱柱的外接球的表面积为           .

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    13．已知抛物线的焦点F恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线的公共点的连线过F，则该椭圆的离心率为           .

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    14．已知函数的最大值为      .

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    15．定义在N上的函数，

    则集合A的子集个数为           .

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    三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    16．（本小题满分12分）

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    △ABC的三个内角分别为A、B、C，当取得最大值.

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       （1）求的值；

       （2）如果∠A的对边等于2，求△ABC的面积的最大值。

     

     

     

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    17．（本小题满分12分）

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           在一次人才招聘会上，小明同时参加了甲、乙、丙三家公司的招聘面试，小明在三家公司面试合格的概率分别为0.8，0.6，0.5.且在三家公司面试是否合格互不影响，求：

       （1）小明在三家公司至少有一家面试合格的概率；

       （2）小明在任意两家公司至少有一家面试合格的概率.

     

     

     

     

     

     

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    18．（本小题满分12分）

           如图在平行六面体ABCD―A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，顶点D1在底面ABCD上的射影O是CD的中点，侧棱与底面所成的角为60°.

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       （2）求点O到平面AA1D1D的距离；

       （3）求二面角C―AD1―O的大小.

     

     

     

     

     

     

     

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    19．（本小题满分13分）

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       （1）试写出的值；

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       （2）归纳出之间的关系式，并求出的表达式；

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       （3）证明：

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    20．（本小题满分13分）

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         已知曲线

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       （1）由曲线C上任一点E向轴作垂线，垂足为F，动点P满足，求P的轨迹方程，点P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；

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       （2）如果直线的斜率为，直线交曲线C于A、B两点，求的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    21．（本小题满分13分）

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           设是函数的两个极值点.

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       （1）若的解析式；

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       （2）若的最大值；

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       （3）设函数时，求证：

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    .

     

     

     

     

     

     

     

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    一、

    ABCBA  CDB

    二、

    9．―2       10．4      11．16      12．36       13．   

    14．    15．64

    三、

    16．解：（1）

    ，

    …………………………2分

    ………………4分

    即取得最大值为，

    …………………………6分

    （2）设内角A、B、C的对边分别为a、b、c

    由（1）知：

    由余弦定理得：

    ……………………8分

    ，

          

           当且仅当    12分

    17．解：记事件A、B、C分别表示小明在甲、乙、丙三家公司面试合格，则

          

       （I）三家公司至少有一家面试合格的概率为：

          

           在三家公司至少有一家面试合格的概率为0.96.       6分

       （II）任两家公司至少有一家面试合格的概率等价于在三家公司至少有两家面试合格的概率，

          

                 8分

          

           在任意两家公司至少有一家面试合格的概率为0.7        12分

    18．解 ：（I）D1在平面ABCD上的射影为O，

                 2分

           点O为DC的中点，DC=2，

           OC=1.

           又

           同理

          

           平面D1AO.      4分

       （II）平面ABCD，

               

           又平面D1DO.

           ，

           ，

           在平面D1DO内，作

           垂足为H，则平面ADD1A1

           线段OH的长为点O到平面ADD1A1的距离.       6分

           平面ABCD，

           在平面ABCD上的射影为DO.

           为侧棱DD1与底面ABCD所成的角，

          

           在

           即点O到平面ADD1A1的距离为    8分

           平面ABCD，

          

           又平面AOD1，

           又，

           为二面角C―AD1―O的平面角      10分

           在

          

           在

          

           取D1C的中点E，连结AE，

           则

          

          

           在

           二面角C―AD1―O的大小为      12分

    19．解：（I）

               3分

       （II）因为

          

           归纳得

           则     5分

          

          

                 7分

       （III）当

                 9分

           则

          

                  13分

    20．解：（I）设

          

          

                  3分

           代入为P点的轨 迹方程.

           当时，P点的轨迹是圆.     6分

       （II）由题设知直线的方程为，

           设

           联立方程组

           消去     8分

    * 方程组有两个不等解，

          

          

           而

               10分

           当

           当

           当

           综上，      13分

    21．解：（1）

              1分

           依题意有

          

           解得

                4分

       （2）.

           依题意，是方程的两个根，

    且

          

          

          

                   6分

           设

           由；

           由

           所以函数在区间上是增函数，在区间[4，6]上是减函数.

           有极大值为96，

           上的最大值为96.

                  9分

       （III）的两根，

           .

          

           ∴

    =          11分

           ∵＜＜即＜＜,

          

           即

          

           成立          13分

     

     


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