解析几何的主要内容是高二中的直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程考查的重点：直线的倾斜角与斜率、点到直线的距离、两条直线平行与垂直关系的判定、直线和圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系；圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线的简单应用等，其中以直线与圆锥曲线的位置关系最为重要。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

解析几何是高中数学的重要内容之一，各地区在这一部分的出题情况较为相似，一般两道小题一道大题，分值约占15%，即22分左右.具体分配为：直线和圆以及圆锥曲线的基础知识两个容易或中档小题，机动灵活，考查双基；解答题难度设置在中等或以上，一般都有较高的区分度，主要考查解析几何的本质――“几何图形代数化与代数结果几何化”以及分析问题解决问题的能力.

1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。

例  1   已知与，若两直线平行，则的值为 ．

解析： ．

点评：解决两直线平行问题时要记住看看是不是重合．

易错指导：不知道两直线平行的条件、不注意检验两直线是否重合是本题容易出错的地方。

例2 （08年高考广东卷文6理11）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是           ．

解析：圆心坐标是，所求直线的斜率是，故所求的直线方程是，即。

点评：本题考查解析几何初步的基本知识，涉及到求一般方程下的圆心坐标，两直线垂直的条件，直线的点斜式方程，题目简单，但交汇性很强，非常符合在知识网络的交汇处设计试题的命题原则，一个小题就把解析几何初步中直线和圆的基本知识考查的淋漓尽致。

易错指导：基础知识不牢固，如把圆心坐标求错，不知道两直线垂直的条件，或是运算变形不细心，都可能导致得出错误的结果。

2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系.

例3 （08高考山东卷理11）已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ）

A．       B．       C．       D．

解析：圆心坐标是，半径是，圆心到点的距离为，根据题意最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直，故最短弦的长为，所以四边形的面积为。

点评：本题考查圆、平面图形的面积等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力。解题的关键有二，一是通过推理知道两条弦互相垂直并且有一条为圆的直径，二是能根据根据面积分割的道理，推出这个四边形的面积就是两条对角线之积的一半。本题是一道以分析问题解决问题的能力立意设计的试题。

易错指导：逻辑思维能力欠缺，不能找到解题的关键点，或是运算能力欠缺，运算失误，是本题不能解答或解答错误的主要原因。

3.圆锥曲线的基本问题：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质，求简单的曲线方程.

例4（08年高考海南宁夏卷理11）已知点P在抛物线y² = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（    ）

A. （，－1）          B. （，1）        C. （1，2）         D. （1，－2）

解析：定点在抛物线内部，由抛物线的定义，动点到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点到点和抛物线的准线距离之和最小时，求点的坐标，显然点是直线和抛物线的交点，解得这个点的坐标是。

点评：本题考查抛物线的定义和数形结合解决问题的思想方法。类似的题目在过去的高考中比较常见。

易错指导：不能通过草图和简单的计算确定点和抛物线的位置关系，不能将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离，是解错本题或不能解答本题的原因。

例5（08年高考山东卷文13）已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为           ．

解析：  圆和轴的交点是，和轴没有交点。故只能是点为双曲线的一个顶点，即；点为双曲线的一个焦点，即。，所以所求双曲线的标准方程为。

点评：本题考查圆和双曲线的基础知识，考查数形结合的数学思想。解题的关键是确定所求双曲线的焦点和顶点坐标。

易错指导：数形结合的思想意识薄弱，求错圆与坐标轴的交点坐标，用错双曲线中的关系等，是不同出错的主要问题。

4.直线与圆锥曲线的位置关系

例6（08年高考山东卷文11）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（    ）

A．    B．

C．          D．

解析：设圆心坐标为，则且.又，故，由得（圆心在第一象限、舍去）或，故所求圆的标准方程是。

点评：本题考查直线和圆的有关基础知识，考查坐标法的思想，考查运算能力。解题的关键是圆心坐标。

易错指导：不能把直线与圆相切的几何条件通过坐标的思想转化为代数条件，或是运算求解失误等。

例7 （2008年海南宁夏卷理14）过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________

解析：双曲线右顶点，右焦点，双曲线一条渐近线的斜率是，直线的方程是，与双曲线方程联立解得点的纵坐标为，故△AFB的面积为。

点评：本题考查双曲线的基础知识和运算能力。

易错指导：过右焦点和渐近线平行的直线和双曲线只有一个交点，如果写错渐近线的方程，就会解出两个交点，不但增加了运算量，还使结果错误。

例8 （08年高考江苏12） 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径的圆做圆，若过点，所作圆的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为     ▲    

解析：过点作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形是一个正方形，即圆心到点的距离等于圆的半径的倍，即，故。

点评：本题把椭圆方程、圆和圆的切线结合起来，考查椭圆的简单几何性质，体现了“在知识的网络交汇处设计试题”的原则，较全面地考查了解析几何的基本知识。解题的突破口是将圆的两条切线互相垂直转化为一个数量上的关系。

易错指导：陷入圆的两条切线互相垂直，不能通过数形结合的方法找到解题途径等，是考生解错本题的主要原因。

例9（08年高考广东卷理18文20）设，椭圆方程为，

抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，

与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

解析：（1）由得，

当得，G点的坐标为，，，

过点G的切线方程为即，

令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，

即，

即椭圆和抛物线的方程分别为和；

（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。

若以为直角，设点坐标为，

、两点的坐标分别为和，

。

关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法、抛物线的切线方程的求法、存在性问题的解决方法、分析问题解决问题的能力，是一道几乎网罗了平面解析几何的所有知识点并且和导数的应用交汇在一起的综合性试题，是一道“在知识网络的交汇处”设计的典型试题。

易错指导：本题把抛物线和椭圆结合在一起，题目的条件里还有两条直线，考生在心理上畏惧，可能出现的问题是思维混乱，理不清题目中错综复杂的关系，找不到正确的解题思路；在解决第二问时缺乏分类讨论的思想意识产生漏解等

四 扫雷先锋

易错点一、考虑不全面

例1 过（0，2）作直线，使与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有几条？

错解：设直线的方程为y＝kx＋2，与联立，整理得

因为与抛物线仅有一个公共点，所以，解得

此时的方程为   所以这样的直线有一条。

剖析：（1）问题之一，错解忽视了对斜率不存在这一情况的考虑，事实上，直线方程为x＝0时，是符合条件的。（2）问题之二，得到方程后，方程不一定是一元二次方程。如果不是一元二次方程，当然就没有什么判别式了，故需按k＝0及两种情况考虑。

正解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为y＝kx＋2，与联立，整理得

（1）k＝0时，方程只有一个解y＝2，故为直线y＝2时与抛物线只有一个公共点，满足条件；

（2）时，因为与抛物线仅有一个公共点，所以，解得解得

此时的方程为

当直线的斜率不存在时，直线x＝0与抛物线只有一个公共点，满足条件。

综上，符合条件的直线有三条：x＝0，y＝2，

点评：忽视含参数系数的讨论，以及设直线方程（为点斜式、斜截式、截距式等时，忽视对引入的参数（如斜率、截距等）的特殊情况的考虑是同学们在做题中的常见错误，一定要注意。

易错点二：变形不等价

例2 直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是   （  ）

A．          B．或   C．   D．

错解：联立方程组，消去得，因为直线与曲线有且仅有一个公共点，所以方程只有一解，所以,解得，所以选A.

剖析：本题中曲线并不是一个完整的圆而是半个圆（右半圆），而时，直线与曲线有且仅有一个公共点，并不能保证直线与右半圆也只有一个公共点。

正解：作出曲线的图形，如图所示：

由图形可得，当直线在和之间变化时，满足题意，同时，当直线在的位置时也同时满足题意，所以应选（B）。

点评：曲线的表达式本身限制了的取值只是非负值，所以曲线只是圆的右半部分。若用代数方法处理，应是方程组化为关于的方程后只有一个非负解，相比之下数形结合更简捷明快。

五 规律总结

1．两直线的位置关系注意用斜率，平行或垂直关系可以用(要讨论斜率不存在、斜率为0的情况)或用(其中O是坐标原点，)．

２．直线与圆锥曲线位置关系：用联立法，联立直线和圆锥曲线的方程，消去 y (或x)，得到方程(或)，然后用判别式，判定直线与圆锥曲线相交(若是双曲线或抛物线，要讨论的系数为0的情况，此时直线与双曲线或抛物线也是相交，只有一个交点)，用判定直线与圆锥曲线相切，用判定直线与圆锥曲线相离；

３．弦长问题的处理：设出弦所在的直线方程，用联立法，联立弦所在直线方程与圆锥曲线方程，消去 y (或x)，得到一个一元二次方程(或)，根据需要，用判别式，设弦端点为，则弦长(或)(其中k为弦所在直线的斜率)．

４．过圆锥曲线焦点的弦长问题注意用圆锥曲线的定义做题．如抛物线，过焦点弦端点为，则由抛物线定义，知．

５．点差法．涉及弦中点，弦所在直线的斜率问题，用点差法．一旦涉及弦长问题，仍是用联立法简单些．

６．涉及直线与圆锥曲线交点的坐标运算问题，在联立直线与圆锥曲线的方程后，得到一个一元二次方程(若是双曲线或抛物线，要讨论的系数为0的情况)，设出交点坐标，把坐标运算配凑成，利用韦达定理，整体运算，运算中注意设而不求思想运用，设出的点的坐标，只是起到过渡作用，并不具体求出，而是整体运算，直指目标．

７．涉及圆锥曲线焦点问题，应首先考虑用圆锥曲线的定义解题．

８．求轨迹方程的主要方法有：直接法、定义法、坐标代入法、变量代换法、交轨法等．

六 能力突破

例1    设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点(　)

Ａ．必在圆内         Ｂ．必在圆上

Ｃ．必在圆外         Ｄ．以上三种情形都有可能

分析：从与2的关系入手，用含有a、b的式子表示进而与已知条件联系上

解：

，所以必在圆内，选A.

反思：本题综合了椭圆，一元二次方程，圆等知识，体现了在知识交汇处命题的思想，结合点新颖，题目给人清新微风扑面之感．解题的关键是用分析法，从结论出发，以点与圆位置关系判定方法，想到配凑韦达定理，巧妙利用一元二次方程根与系数关系，由a、b、c 的几何意义，绕回到椭圆离心率上，使点与圆的位置关系、一元二次方程的根、椭圆性质等联系在一起．

例2  如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为．

(Ⅰ)求在，的条件下，的最大值；

(Ⅱ)当，时，求直线的方程．

分析：由三角形面积公式，分析出要求的量，然后联立直线和椭圆的方程，设而不求，尽量整体运算，分别运用均值不等式，叛别式法、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式综合解题．

解：(Ⅰ)设点的坐标为，点的坐标为，

由，解得，      

所以．当且仅当时，取最大值．

(Ⅱ)由得，，

．   ②

设到的距离为，则，

又因为，所以，代入②式并整理，得，

解得，，代入①式检验，，故直线的方程是

或或，或．

反思：本题考查知识的同时，也考查了解析几何的基本思想方法和综合解题能力．其中模块化运算要认真学习借鉴，如联立直线和椭圆方程――得到一个一元二次方程――运用判别式判定方程解的个数――弦长公式结合韦达定理，设而不求，整体运算求解．

例3    已知圆O：x²+y²=4，直线m：，(1)求证直线m与圆O有两个相异交点；(2)设直线m与圆O的两个交点为A、B，求△AOB面积S_△AOB的最大值．

分析：第一问只需判断直线过定点(0，1)，且这个定点在圆内，第二问要用向量方法判断的取值范围，以S_△AOB=求出三角形面积的最大值．

解：(1)直线m：y=kx+1恒过点(0，1)，而(0，1)在圆x²+y²=4内部，所以直线m与圆O恒有两个不同交点．

(2)，解得，设，

所以，，

，

所以，当k=0时，最大值为，所以，

，

所以，

所以S_△AOB=，

所以△AOB面积S_△AOB的最大值为．

反思：第一问考查过定点的直线系及点在圆内的判断方法，第二问考查以向量为工具，解决三角形面积问题，在运算方面仍然考查设而不求，运用用韦达定理整体运算．

 ①直线方程中含有参数时，要先考虑直线是否过定点，或是否是平行直线系．②直线和圆的题目要尽量使用数形结合思想解题，以简化运算．本题第(2)问也可以不用向量的方法，运用三角形余弦定理，得到(圆O半径为r=4)，当AB垂直于y轴时，弦长|AB|取最小值；当AB是圆的直径时， |AB|取最大值．所以，所以，以下同上解法．

七 高考风向标

考查方向一：填空选择题由过去的单一考查概念与定义、基本元素与基本关系逐渐转向突出考查数学思想方法，在“知识网络交汇点”命题.解决这类问题的关键在于对知识掌握的基础性、全面性和熟练性.

例1 过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则的面积为         ．

解析：该椭圆的右焦点的坐标是，该直线方程是，代入椭圆方程得．设，则的面积等于

．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查解析几何的基本思想方法．解题的关键是设而不求的整体思想．若对解析几何中“设而不求”的整体思想认识模糊，则会陷入复杂的运算导致错误.

例2设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ）

A．      B．    C．        D．

解析：由已知得在椭圆中，由此知道在双曲线中的，故双曲线中的，双曲线方程为。

点评：本题考查椭圆和双曲线的基础知识，考查分析问题的能力。注意不要把把椭圆的长轴长误以为是椭圆中的，混淆椭圆和双曲线中的的关系。

考查方向二：解答题综合向量的有关知识，与数列、函数、不等式等内容结合求圆锥曲线的方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系.另外，存在性和最值、定值、参数范围问题也是圆锥曲线的常考形式.解决这类问题的关键在于数学思想方法的运用，比如数形结合、分类讨论、设而不求、点差法等.

例3如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．

（Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：（Ⅰ）证明：由题意设．

由得，得，所以，．

因此直线的方程为，直线的方程为．

所以，①   ．②

由①减②得，因此，即．所以三点的横坐标成等差数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：

，，所以是方程的两根，

因此，，又，所以．

由弦长公式得．

又，所以或，因此所求抛物线方程为或．

（Ⅲ）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，

由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得．

若在抛物线上，则，因此或．

即或．

（1）当时，则，此时，点适合题意．

（2）当，对于，此时，，

又，，所以，即，矛盾．

对于，因为，此时直线平行于轴， 又，

所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点．

综上所述，仅存在一点适合题意．

点评：本题考查导数、抛物线、等差数列、直线被曲线所截得的线段的长、平面向量的加法等基础知识，考查坐标法、方程、分类讨论、反证等基本思想方法，考查逻辑推理、运算求解的能力，考查分析问题解决问题的能力，是一道以最基本的知识为依托全面考察考生的综合数学素养的能力型试题。本题的第一问就需要考生有“设而不求”的坐标法思想以及方程的思想才能顺利解决，实际上第一问中的是方程的两个不等实根，如果有这个思想就为第二问的解决打下了良好的基础；第二问的关键点是如何用去表示弦长公式中的，在圆锥曲线中弦所在直线的斜率都可以用它们的中点坐标来表达，特别对抛物线，，而本题第一问所证明的正是点和弦的中点具有相同的横坐标，这样就找到了解题的突破口；第三问更是集中体现了方程思想和坐标法思想在解决问题中的作用，解决的关键是根据两个点关于关于一条直线对称所满足的两个条件（两点连线和对称轴垂直，两点的中点在对称轴上），进行推理论证。

例3已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．

（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

解析：（Ⅰ）由题意得 又，解得，．因此所求椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，

．

解方程组得，，

所以．

设，由题意知，所以，即，

因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，

因此，又，所以，

故．

又当或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，的轨迹方程为．

（2）当存在且时，由（1）得，，

由解得，，

所以，，．

解法一：由于

，当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

解法二：因为，

又，，

当且仅当时等号成立，即时等号成立，

此时面积的最小值是．

当，．

当不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

点评：本题考查直线与圆的基础知识，考查待定系数法、参数法求曲线方程的方法，考查函数与方程、分类讨论的思想，考查分析问题解决问题的能力，是一道以解析几何知识为依托，全面考查数学思想方法，全面考查考生的综合数学素养的能力型试题。题目的入口是求出常数的值，这个入口就很容易把许多考生拒之门外，曲线的形状并不是对所有考生都熟悉的；在接下来的第二问的两个设问中，第一个是用参数法求曲线方程，第二个是一个最值问题，这两个都不是考生所能轻易解决的。

八、沙场点兵

1.过点的直线l经过圆的圆心，则直线l的倾斜角大小为（    ）

    A．150°            B．120°           C．30°             D．60°

2.（08重庆卷3)圆O₁:和圆O₂: 的位置关系是（    ）

A.相离      B.相交     C.外切      D.内切 

3.方程对应的曲线是（    ）