和平区2009届高三第一次质量调查
数学（文）学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再造涂其他答案标号。答在试卷上无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)复数
等于
(A)
(B)0
(C)
(D)1
(2)设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为
(A)7 (B)4
(C)
(D)
(3)设集合
，则
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)在等比数列
中，
，则
等于
(A)90 (B)30
(C)70 (D)40
(5)若圆
与直线
相切，则
的值等于
(A)5 (B)
(C)5或 (D)
或
(6)已知
表示一个平面，
表示一条直线，则平面内至少有一条直线与
(A)平行 (B)相交
(C)异面 (D)垂直
(7)已知函数
的最小正周期为2
，则该函数的图象
(A)关于直线
对称 (B)关于点(
)对称
(C)关于直线
对称 (D)关于点(
)对称
(8)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于
的概率是
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)如图，过抛物线
的焦点F作直线交抛物线于
、
，若
，那么
等于
(A)8 (B)7
(C)6 (D)4
(10)若
，则
的大小关系是
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
3．本卷共12小题，共100分。
题号
二
三
总分
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
得分
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
(11)对总数为
的一批零件进行检验，现抽取一个容量为45的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则零件的总数等于
．
(12)在如右图所示的程序框图中，当程序被执行后，输出
的结果是
．
(13)化简
．
(14)已知向量
，若向量
平行，则实数
等于 ．
(15)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，若CD=4，BD=8，用圆O的半径等于 ．
(16)设
，则
的最大值等于 .
(17)(本小题满分12分)
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
在△ABC中，
，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）设
，求
．
(18)(本小题满分12分)
下表为某班英语及数学成绩公布，全班共有学生50人，成绩分为1~5五个档次，设分别表示英语成绩和数学成绩，例如表中英语成绩为5分的共6人，数学成绩为3分的共15人．
(Ⅰ)
的概率是多少?且
的概率是多少?
的概率是多少?
在的基础上，同时成立的概率是多少?
(Ⅱ)
的概率是多少?
的值是多少?
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
6
0
1
0
0
1
1
3
(19)(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱
中，
(Ⅰ)求证：
；
(Ⅱ)若D是AB的中点，求证：
∥平面
．
(20)(本小题满分12分)
已知等差数列的前三项为
记前项和为
(Ⅰ)设
，求和
的值；
(Ⅱ)设
，求
的值．
(21)(本小题满分14分)
设A、B分别为椭圆
的左、右顶点，(
)为椭圆上一点，椭圆的长半轴的长等于焦距．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设
，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，
求证：
为钝角．
(22)(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)求
的值域；
(Ⅱ)设
，函数
．若对任意
，总存在
，使
，求实数的取值范围．
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．D
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．180 12．60 13．
14．2 15．5 16．
三、解答题(本大题共6小题，共76分)
17．(本题12分)
解：（Ⅰ）
………………………………（2分）
…………（4分）
…………………………………(6分)
(Ⅱ)
． ……………(8分)
由已知条件
根据正弦定理，得
…………………（10分）
……………………（12分）
18．（本题12分）
解：（Ⅰ）
……………………（2分）
……………………（4分）
……………………（6分）
当
时，有
(人)．
在的基础上，
有
(人)，
……………………（8分）
(Ⅱ)
…………（10分）
…………………………………（12分）
19．(本题12分)
证明：(Ⅰ)
在△
中，
…………………………（2分）
平面
．
…………………………（4分）
平面
…………………………（6分）
(Ⅱ)连接
交
于M，则M为的中点 …………………………（8分）
连接DM，则
∥
，
…………………………（10分）
平面
，
平面，
∥平面
…………………………（12分）
20．（本题12分）
解：(Ⅰ)由已知得
，又
，
即
． …………………………（2分）
，公差
．
由
，得 …………………………（4分）
即
．解得
或
(舍去)．
．
…………………………（6分）
(Ⅱ)由
得
…………………………（8分）
…………………………（9分）
是等差数列．
则
………………………(11分)
……………………(12分)
21．(本题14分)
解：(Ⅰ)依题意得
．
………………………（2分）
把（1，3）代入．
解得
．
椭圆的方程为
．
………………………（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，设
，如图所示
点在椭圆上，
． ①
点异于顶点
、
，
．
由
、、三点共线，可得
从而
…………………………（7分）
② …………（8分）
将①式代入②式化简得
…………（10分）
…………（12分）
于是
为锐角，
为钝角． ……………(14分)
22．(本题14分)
解：（Ⅰ）
，
令
，得
或
．
………………（2分）
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，
而
，
当
时，
的值域是
． ……………（4分）(Ⅱ)设函数
在
上的值域是A，
若对任意
．总存在
1,使
，
．
……………（6分）
．
①当
时，
，
函数在
上单调递减．
，
当时，不满足
； ……………………(8分)
②当
时，
，
令
，得
或
(舍去 ………………(9分)
（i）
时，
的变化如下表：
0
2
-
0
+
0
．
，解得
． …………………(11分)
(ii)当
时，
函数在上单调递减．
，当时，不满足．
…………………(13分)
综上可知，实数
的取值范围是
． ……………………（14分）
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