例1．如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设d为点P到直线l：的距离，若，求的值。

解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.，因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，所以双曲线的方程为x^2-=1.

 (II)由（I）及（21）图，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|²,         ①

知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2.     ②

将②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以|PN|=.

因为双曲线的离心率e==2，直线l：x=是双曲线的右准线，故=e=2，

所以d=|PN|，因此

变式：

在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？

解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．

（Ⅱ）设，其坐标满足

消去y并整理得，故．

，即．而，

于是．

所以时，，故．

当时，，．，

而，所以．

例2．①若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( C  )

A．                  B．1          C．                  D．5

②在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点的坐标是　_____

变式：

1．若实数x、y满足则的取值范围是（  D ）

A.（0，2）     B.（0，2）       C.(2,+∞)        D.[2，+∞)

2．若，且当时，恒有，则以,b为坐标点 所形成的平面区域的面积等于 (  C  )

（A）        （B）      （C）1         （D）

题型三、圆锥曲线定义的应用

例3. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则=        8

例4. 已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，

由韦达定理得，，

，点的坐标为．

设抛物线在点处的切线的方程为，

将代入上式得，直线与抛物线相切，

，．即．

（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点， ．

由（Ⅰ）知．

轴，．

又

 ．

，解得．即存在，使．

变式：

已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

解：(Ⅰ)依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为（0＜a²＜4)，

将点（3，）代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，故所求双曲线方程为

 (Ⅱ)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,

∴   ∴k∈(－)∪(1,).

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=于是

|EF|=

=，而原点O到直线l的距离d＝,

∴S_ΔOEF=

若S_ΔOEF＝，即解得k=±，满足②.

故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和

例5．①已知双曲线的左右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于( C )

（Ａ）　　     （Ｂ）　　       （Ｃ）　　      （Ｄ）

②已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ）

A．          B．          C．         D．

变式：

1．设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（  B  ）

A．            B．                C．              D．

2．已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于        2

题型五、直线与圆锥曲线位置关系问题

例6．已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．

（1）证明三点共线；

（2）如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．

解：（1）设，

则直线的方程：，即

因在上，所以①  又直线方程：

由得：，所以

同理，，所以直线的方程：

令得

将①代入上式得，即点在直线上，所以三点共线

（2）由已知共线，所以  以为直径的圆的方程：，由得

所以（舍去），  。要使圆与抛物线有异于的交点，则，所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点 ，则，所以交点到的距离为 

例7．已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．

解：（Ⅰ）设双曲线的方程为，由题设得

   解得    所以双曲线的方程为．

（Ⅱ）设直线的方程为，点，的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，整理得．

此方程有两个不等实根，于是，且．整理得

．        ③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

，．

从而线段的垂直平分线的方程为．

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得

．整理得，．

将上式代入③式得，

整理得，．解得或．

所以的取值范围是．

变式：

设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．

如图，设，其中，

且满足方程，故．①

由知，得；

由在上知，得．，

化简得，解得或．

（Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为

，．

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．

反馈练习：

1．已知变量满足约束条件则的最大值为（  B ）

A．             B．               C．                 D．

2．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ B  ）

A．             B．

C．                   D．

3．双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，若P为其上一点，且|PF₁|=2|PE₂|，则双曲线离心率的取值范围为（ B  ）

A.（1，3）    B.（1，3）        C.（3，+∞）    D. [3，+∞)

4．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（  B  ）

A．            B．          C．          D．

5．双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是(  C   )

A．         B．   C．      D．

6．若双曲线的左焦点在抛物线y²=2px的准线上，则p的值为(  C  )

(A)2                   (B)3                              (C)4                   (D)4

7．已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为___

8．在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=          

9．过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则的面积为        

10．已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为          

11．已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．

（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；

（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．

设两点坐标分别为．由得．

所以．又因为边上的高等于原点到直线的距离．

所以，．

（Ⅱ）设所在直线的方程为，由得．

因为在椭圆上，所以．设两点坐标分别为，

则，，所以．

又因为的长等于点到直线的距离，即．

所以．

所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为．

12．双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

解：（1）设，，

由勾股定理可得：

得：，，

由倍角公式，解得，则离心率．

（2）过直线方程为与双曲线方程联立

将，代入，化简有

将数值代入，有 解得，得双曲线方程为