数学20分钟专题突破27

函数与方程的思想

一.选择题

1.若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（    ）

A．          B．

C．          D．

2.于x的方程的两根满足，则k的取值范围是（     ）

    A．        B．        C．           D．

3.，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（    ）

二.填空题

1.设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为                  。

2.，若关于的方程有实根，则的取值范围是       ．

3.当时，不等式恒成立，则的取值范围是         

三.解答题

3.、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

（Ⅱ）设过定点，的直线与椭圆交于两不同的点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

答案：

一.择题题

1. 解：因为，用替换得： 因为函数分别是上的奇函数、偶函数，所以，又

解得：，而单调递增且，∴大于等于0，而，故选。

2. 解：设函数，∵关于x的方程的两根满足，∴即∴，故选择。

3. 解：设正方体的棱长为，由图形的对称性知点始终是的中点，

而且随着点从点向的中点滑动，值逐渐增大到最大，再由中

点向点滑动，而逐渐变小，排除，把向平面内正投

影得，则=，由于，

∴，所以当时，为一次函数，故选

二.填空题

1. 解：由已知，得（其中），函数为反比例函数，在（）上为单调递减，所以当时，又因为对于任意的，都有，所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为。

2. 解：方程即,利用绝对值的几何意义,得，可得实数的取值范围为

3. 解：构造函数：．由于当时，不等式恒成立，等价于在区间上函数的图象位于轴下方，由于函数的图象是开口向上的抛物线，故只需即，解得．

．

三.解答题

解：（Ⅰ）解法一：由椭圆方程知

所以　，设

则

又   ∴   

，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值     

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值．

解法二：易知，所以，设

则

（以下同解法一）

（Ⅱ）显然当直线的斜率不存在即时，不满足题设条件

可设的方程为，设，

联立     得   

即  　               

∴　，

由

即     解得  　　   ①      

又为锐角

∴ 

∴ 

∴ 

∴　　　                  ②          

综①、②可知　

∴　的取值范围是．