鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中孝感高中 襄樊五中 荆州中学 襄樊四中 2009届高三第二次联考
数学试题（文）
命题人：襄樊五中 刘军 何宇飞 审题人：襄樊四中 何天海
考试时间：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．
成立的充要条件是：（ ）
A．
B．
C．且 D．或
2．设函数
在区间
上是增函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
、
是不共线的向量，
，
，则
、
、
三点共线的充要条件是：（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设映射
是实数集M到实数集P的映射，若对于实数
，
在M中不存在原象，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在数列
中，若
，且
，则
（ ）
A．2007 B．2008 C．2009 D．2010
6．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
(其中
是自然对数的底数)的反函数为
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．半径为1的球面上有A，B，C三点，其中点A与B、C两点间的球面距离均为
，
B、C两点间的球面距离为
，则球心到平面
的距离为（ ）
A．
B
C．
D．
9．已知函数
，对定义域内的任意
，都满足条件
．若
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知
，若方程
的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．
的常数项是
（用数学作答）．
12．在
中，
，
，
所对的边分别是
，，
，已知
，则
．
13．若实数，
满足条件
，则目标函数
的最大值为 ．
14．
中，
，以点为
一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一
个焦点在
边上，且这个椭圆过、
两点，则这个椭圆的焦距长为 ．
15．已知函数
为偶
函数，且满足不等式
，则的值为
．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本题满分12分)已知向量
，
，
，
．函数
，若
的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为1，且过点
．
(Ⅰ)求函数
的表达式．
(Ⅱ)当
时，求函数的单调区间．
17．(本题满分12分)在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是
，甲、丙两人都回答错的概率是
，乙、丙两人都回答对的概率是
．
(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率．
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率．
18．(本题满分12分)如图，已知正三棱柱
的各棱长都为，
为棱
上的动点．
(Ⅰ)当
时，求证：
．
(Ⅱ) 若
，求二面角
的大小．
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，求点
到平面
的距离．
19．(本题满分12分)已知函数
，函数的图像在点
的切线方程是
．
(Ⅰ)求函数的解析式：
(Ⅱ)若函数在区间
上是单调函数，求实数
的取值范围．
20．(本题满分13分)过轴上动点
引抛物线
的两条切线
，
，，
为切点．
(Ⅰ)若切线，的斜率分别为
和
，求证：
为定值，并求出定值．
(Ⅱ) 求证：直线
恒过定点，并求出定点坐标．
(Ⅲ)当
最小时，求
的值．
21．(本题满分14分)已知数列中，
，
，其前
项和
满足
，令
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令
，求证：
①对于任意正整数，都有
．
②对于任意的
，均存在
，使得
时，
．
一、
二、11.210 12. 
13.2 14.
15. 
或
或
三．解答题：
16. 解：（1）
……………………………………………………………3分
由题意得周期
，故
…………………………………………4分
又图象过点
，所以
即
，而
，所以
∴
……………………………………………………6分
（2）当
时，
∴当
时，即
时，
是减函数
当
时，即
时，是增函数
∴函数的单调减区间是
，单调增区间是
………………12分
17.解：记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件
、
、
，则
，且有
，即
∴
……………………………………………………………………6分
（2）由（1）
,
.
则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：
……………………12分
18. 解法一 公理化法
（1）当
时，取
的中点
，连接
，因为
为正三角形，则
，由于
为
的中点时，
∵
平面
,∴
平面,∴
.………………………………………………4分
（2）当
时，过作
于
,如图所示，则
底面
,过作
于
,连结
，则
,
为二面角
的平面角，
又
,
又
，
,即二面角的大小为
.…………………………………………………8分
(3)设
到面
的距离为
，则
,
平面
,
即为点到平面的距离，
又
，
即
解得
，
即到平面的距离为
.…………………………………………………………………………12分
解法二 向量法
以为原点，为
轴，过点与垂直的直线为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系
，如图所示，
设
，则
（1）由得
，
则
，
，
………………………………4分
（2）当时，点的坐标是
设平面的一个法向量
，则
即
取
，则
，
又平面的一个法向量为
又由于二面角是一个锐角，则二面角的大小是.……………………8分
（3）设到面的距离为，
则
到平面的距离为.………………………………………………………………………12分
19. 解：(Ⅰ)由于
，
故在点
处的切线方程是
…………………………………………2分
即
，故
与表示同一条直线，
，
即
，
，
.……6分
(Ⅱ) 由于
，
则
或
，所以函数的单调区间是
，…………………………8分
故
或
或
或
或
，
或
或
实数
的取值范围是
.………………………………………………………12分
20. 解：（Ⅰ）设过
与抛物线
的相切的直线的斜率是，
则该切线的方程为：
由
得
，
则
都是方程
的解，故
………………………………………………4分
（Ⅱ）设
由于
，故切线
的方程是：
，又由于点在上，则
则
，
，同理
则直线
的方程是
，则直线过定点
.………………………………………8分
（Ⅲ）要使
最小，就是使得到直线的距离最小，
而到直线的距离
，当且仅当
即
时取等号.………………………………………………………………10分
设
由
得
，则
.…………13分
21. 解：(Ⅰ)由题意知
即
……1分
…………3分
检验知
时，结论也成立
故
.………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ) ①由于
故
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