专题九：立体几何
瓶窑中学 黄向军
【考点审视】
高考试卷中立体几何把考查的立足点放在空间图形上,突出对空间观念和空间想象能力的考查.立体几何的基础是对点、线、面的各种位置关系的讨论和研究,进而讨论几何体。因此高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查，以便审核考生立体几何的知识水平和能力。
多面体和棱柱、棱锥、正多面体、球是空间直线与平面问题的延续和深化。要熟练掌握概念、性质以及它们的体积公式，同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题来解，会运用“割补法”等求解。
本章主要考查平面的性质、空间两直线、直线和平面、两个平面的位置关系以及空间角和距离、面积及体积。
考试要求
（１）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图。能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想象它们的位置关系。
（２）掌握两条直线平行与垂直的判定、性质定理。掌握两条直线所成的角和距离的概念。
（3）掌握直线和平面平行、垂直的判定、性质定理。掌握直线和平面所成的角、距离的概念。了解三垂线定理及其逆定理。
（4）掌握两个平面平行、垂直的判定、性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两平面间的距离的概念。
（5）会用反证法证明简单的问题。了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。
（6）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。
（7）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
（8）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。
（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。
【疑难点拔】
1、 立体几何高考命题及考查重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考查的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进行考查，在难度上也始终以中等偏难为主。
2、 高考直接考查线面位置关系，以多面体为载体考查线面间位置关系是今后命题的一种趋势。
3、 求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视。
4、 由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，熟练多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐含条件，达到快速准确解题的目的。
5、 立体几何的证明与计算的书写格式要求非常严格，因此在平时的训练中要多加注意书写的格式的严密性。
6、
（1995年全国文24、理23）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF
DE，F是垂足。
（1）
求证：AF DB
；
（2）
（理）如果圆柱与三棱柱D-ABE的体积比等于3
，求直线DE与平面ABCD所成的角。
（文）求点E到截面ABCD的距离。
评述：本题主要考查圆柱的概念，两异面直线垂直、直线与平面的垂直、圆柱及棱锥的体积、直线与平面所成的角。主要考查空间想象能力和逻辑推理能力。
分析本题考生答题失误大致有如下几点：
（1） 缺乏清晰的空间形体观念，抓不住“DA、AE、EB三线两两垂直”这个本质关系，解答过程中方向不明，层次不清，逻辑混乱现象均可能发生。
（2） 未能找到DE与平面ABCD所成的角
（3） 未能正确和准确地进行推理计算，随意列写各种关系，盲目换算。
（4） 数值计算出现差错。
专题九： 立体几何
瓶窑中学 黄向军
【经典题例】
例1：在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点。将
ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成的度数为（ ）
A
90
B
C 45
D 0
[思路分析]
将三角形折成三棱锥以后，HG与IJ为一对异面直线。过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD。所以
ADF即为所求。故HG与IJ所成角为60
[简要评述]
本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。
例2：正六棱柱ABCDEF--A
BCDEF的底面边长为1，侧棱长为
，则这个棱柱的侧面对角线ED与BC所成的角是（ ）
A 90
B 60
C 45
D 30
[思路分析]
连接FE、FD，则由正六棱柱相关性质得FE//BC。在
中，EF=ED=1，
，
。在直角三角形EFE和EED中，易得EF=ED=
。
是等边三角形。
。即BC与DE所成的角为60。
[简要评述]
本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法。
例3：如图，在底面边长为2的正三棱锥V―ABC中，E是BC的中点，若
的面积是
，则侧棱VA与底面所成的角的大小为：____________
（结果用反三角函数值表示）。
[思路分析]
作VO垂直AE，由正三棱锥V―ABC得O为
中心。则AE=2
=，
得VO=
tanVAO=
，得VA与底面所成的角的大小为arctan
[简要评述]
本题主要考查正三棱柱的性质及直线与平面所成的角的作法与求法。
例4：若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小为：_________ （结果用反三角函数值表示）
[思路分析]
设棱锥的高为h，如图则V=
，D为BC的中点，OD=
易证
为侧面与底面所成二面角的平面角，
，故
。
[简要评述]
本题主要考查三棱锥中的基本数量关系，考查二面角的概念及计算。
例5：关于直角AOB在定平面
内的射影有如下判断：（1）可能是0
的角；（2）可能是锐角；（3）可能是直角；（4）可能是钝角；（5）可能是180的角。其中正确判断的序号是： （注：把你认为是正确判断的序号都填上）。
[思路分析]
答案：1、2、3、4、5。
[简要评述]
这是考核空间想象能力的问题。
例6：如图，四棱锥S―ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=。
（1）
求证BC
（2） 求面ASD与面BSC所成二面角的大小。
（3）
| ||||||||||||||||||||||||||||
证明：EF为BD
例8：在三棱锥S―ABC中，
，且AC=BC=5，SB=5
，如图。
。
是二面角的平面角，故在Rt
与Rt
可求得
。又由Rt
，故可得V
。
（B）45
（B）
（C）
（D）
折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30
（B）
（C）
（D）3
为120
,则
所在平面内的直线与m所成角的取值范围是
（ ）
（B）
（C）
（D）
及平面M、N，下列命题中正确的是
（ ）
a,则b
且
则
（D）若
则
（B）
（C）
（D）
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
（B）4
（D）6
（B）
（C）
（D）
与
都垂直于平面
（B）
是内两条直线，且
是两条异面直线，且
B
的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为：_________________
。
求异面直线AC与BC
。拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角的关系式，并予以证明。
17．如图ABCD―
是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。
中，D是BC的中点，AB=a.
求证：
19．如图四棱锥P---ABCD的底面是边长为a的正方形，PB
中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。
；