重庆市分水中学高2009届三月月考数学试题(理科)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设
≤4}，
，
（ ）
A．
B．{3}
C．Ф D．
≤
≤
2.已知
为虚数单位，且
，则
的值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
3.在等比数列
的值为（ ）
A．1 B．
4.函数
的图象关于点
对称, 则
的值是（ ）
A. 
B. 
C.
D. 
5.抛物线
的准线与双曲线
的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.函数f(x)=
的部分图象是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数
满足
，则
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.在正方体上任取三个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.已知直线
与圆C：
相交于A、B两点，且
的面.是
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．与
的值有关的数
10．将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为
，则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．与的值有关的数
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
11.设
,则导函数
的展开式中x2的系数是___________．
12.已知点P（x，y）在不等式组
表示的平面区域内运动，则
的取值范围是___________．
13.已知函数
是奇函数，则当
时，
，设
的反函数是
，则
．
14.数列1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，
，…的第2008项为___________，前2008项的和为___________．
15.如图，在平面斜坐标中
，斜坐标定义为
（其中
分别为斜坐标系的x轴,y轴
的单位向量），则点P的坐标为
。若
且动点
满足
,则点M在斜坐标系中的
轨迹方程为___________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.(本小题满分12分)
已知
，
（1）求的最小正周期与单调递减区间；
（2）在中，
、
、c分别是角
的对边，若
的面积为
，求的值.
17.(本小题满分12分)
甲、乙两人对同一个目标各射击一次，击中目标的概率分别是
和
. 现他们对同一个目标各射击两次，已知“甲击中目标的次数减去乙击中目标的次数的差不超过
.
（1）求P的值；
（2）设在第一次射击中目标被甲乙两人击中的总次数为
，求的分布列与期望
.
18.(本小题满分12分)
如图，五面体
中，
．底
面
是正三角形，
.四边形
是矩形，二面角
为直二面角.
（1）
在
上运动，当在何处时，有
平面
,并
且说明理由；
（2）当平面时，求二面角
的余弦值.
19.(本小题满分13分)
为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分
布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列
的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列
的前六项.
(1)求数列和{bn}的通项公式；
(2)求视力不小于5.0的学生人数；
(3)设
,
求数列
的通项公式.
20.(本小题满分13分)
已知
分别是椭圆
的左右焦点，其左准线与轴相交于点N，并且满足
，设A、B是上半椭圆上满足
的两点，其中
.
（1）求此椭圆的方程；
（2）求直线AB的斜率的取值范围.
21.(本小题满分13分)
已知函数
，
.
（1）求在区间
的最小值；
（2）求证：若
，则不等式
≥对于任意的
恒成立；
（3）求证：若
，则不等式≥对于任意的
恒成立.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
CBCDB DADCA
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.90 12.[
) 13.
14.1 ；3899 15.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16.（本小题满分13分）
解：（1）
……3分
……4分
令
的单调区间
,k∈Z ．．．．．．6分
（2）由
得 
．．．．．７分
又
为
的内角
．．．．．．９分
．．．11分
．．．．12分
17. （本小题满分13分）
解:(1)记“甲击中目标的次数减去乙击中目标的次数为
，解得
．．．．．4分
(2)
的所有可能取值为0,1,2.记“在第一次射击中甲击中目标”为事件
；记“在第一次射击中乙击中目标”为事件
.
则
,
,．．．．．10分
所以的分布列为
0
1
2
P
∴
=
．．．．．12分
18. （本小题满分13分）
解:（1）当
为
中点时,有
平面
证明:连结
交
于
,连结
∵四边形
是矩形 ∴为中点
又为中点,从而
∵
平面,
平面
∴平面．．．．．4分
（2）建立空间直角坐标系
如图所示,
则
,
,
,
,
．．．．．6分
所以
,
.
设
为平面的法向量,则有
,即
令
,可得平面的一个法向量为
,．．．．．9分
而平面
的一个法向量为
．．．．．10分
所以
所以二面角
的余弦值为
．．．．．12分
(用其它方法解题酌情给分)
19.（本小题满分12分）
解:(1)由题意知
因此数列
是一个首项
.公比为3的等比数列，所以
.．．．．．2分
又
=100―(1+3+9)
所以
=87,解得
因此数列
是一个首项
,公差为―5的等差数列,
所以 
．．．．．4分
(2) 求视力不小于5.0的学生人数为
．．．．．7分
(3) 由
①
可知，当
时，
②
①-②得，当时，
, www.zxsx.com
,
．．．．．11分
又
因此数列
是一个从第2项开始的公比为3的等比数列,
数列的通项公式为
．．．．．13分
20.（本小题满分12分）
解:(1)由于
,
∴
,解得
,
∴椭圆的方程是
．．．．．3分
(2)∵
,∴
三点共线,
而
,设直线的方程为
,
由
消去
得: 
由
,解得
．．．．．6分
设
,由韦达定理得
①,
又由得:
,∴
②.
将②式代入①式得:
,
消去
得:
．．．．．10分
设
,当
时, 
是减函数,
∴
, ∴
, www.zxsx.com
解得
,又由得
,
∴直线AB的斜率的取值范围是
．．．．．13分
21. （本小题满分12分）
(1)解:
①若
∵
，则
，∴
，即
.
∴在区间
是增函数，故在区间的最小值是
．．．．．2分
②若
令
，得
.
又当
时，
；当
时，
，
∴在区间的最小值是
．．．．．4分
(2)证明:当
时，
，则
，
∴
,
当
时，有
，∴
在内是增函数，
∴
，
∴
在内是增函数，www.zxsx.com
∴对于任意的，
恒成立．．．．．7分
(3)证明:
,
令
则当
时,
≥
,．．．．．10分
令
,则
,www.zxsx.com
当
时, 
；当
时，
；当
时，
，
则在
是减函数，在
是增函数，
∴
，
∴
，
∴
，即不等式≥对于任意的
恒成立．．．．．13分
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