北京市丰台区2009年高三统一练习（一）
数 学（理科） 2009年3月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数
所对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
2. 已知全集
，集合
，集合
，那么集合
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
3. 已知直线
平面α ，直线
平面α ，“直线c⊥，直线c⊥”是“直线c⊥平面α”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4. 以双曲线
的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是
（A）
(B) 
(C) 
(D) 
5. 已知函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，那么下列情形不可能出现的是
（A）函数有最小值
（B）函数过点（4，2）
（C）函数是偶函数
（D）函数在其定义域上是增函数
6. 在平面直角坐标系
中作矩形
,已知
,则?的值为
（A）0 （B）7
（C）25
（D）
7. 北京奥运会乒球男团比赛规则如下：每队3名队员，两队之间共需进行五场比赛，其中一场双打，四场单打，每名队员都需比赛两场（双打需两名队员同时上场比赛），要求双打比赛必须在第三场进行，若打满五场，则三名队员不同的出赛顺序安排共有
（A）144 （B）72
（C）36 （D）18
8. 已知
，
都是定义在
上的函数，且满足以下条件：①=
?（
）；②
；③
。若
，则使
成立的x的取值范围是
（A）（
，
）∪（
，+∞ ）
（B）（，）
（C）（－∞，）∪（，+∞ ）
（D）（，+∞ ）
丰台区2008年高三统一练习（一）
数 学 （理科）
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题 号
二
三
总 分
15
16
17
18
19
20
分 数
得 分
评卷人
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。
9. 若
展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是
。
10. 设等比数列
的前项和为
，若
，则
= 。
11. 在长方体
中，
，若点
到
这四点的距离相等，则
＝
。
12. 在平面直角坐标系中,已知△
顶点
，顶点
在椭圆
上，则
＝
。
13. 已知函数
，则它们的图像经过平移后能够重合的是函数 与函数 。（注：填上你认为正确的两个函数即可，不必考虑所有可能的情形）
14. 对于函数，我们把使
的实数x叫做函数的零点。函数
的零点是 ；若函数和均是定义在上的连续函数，且部分函数值分别由下表给出：
X
1
2
3
4
X
1
2
3
4
3
5
2
－1
4
2
1
3
则当x= 时，函数
在区间
上必有零点。
得 分
评卷人
三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15. （本小题共13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求函数在区间
上的最值。
得 分
评卷人
16. （本小题共13分）
已知数列中，
，且当
时，函数
取得极值。
（Ⅰ）求数列
的通项；
（Ⅱ）在数列
中，
，
，求
的值
得 分
评卷人
17. （本小题共14分）
如图，在正三棱柱
中，
,
是
的中点，点
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的正弦值；
（Ⅱ）证明
；
(Ⅲ)
求二面角
的大小.
得 分
评卷人
18. （本小题共13分）
某校高二年级开设《几何证明选讲》及《坐标系与参数方程》两个模块的选修科目。每名学生可以选择参加一门选修，参加两门选修或不参加选修。已知有60%的学生参加过《几何证明选讲》的选修，有75%的学生参加过《坐标系与参数方程》的选修，假设每个人对选修科目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。
(Ⅰ)任选一名学生，求该生参加过模块选修的概率；
(Ⅱ)任选3名学生，记
为3人中参加过模块选修的人数，求的分布列和期望。
得 分
评卷人
19. （本小题共13分）
已知
分别为椭圆
的左、右焦点，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于直线，垂足为
，线段
的垂直平分线交
于点M。
(Ⅰ)求动点M的轨迹
的方程；
(Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设＝
，若∈[2，3]，求
的取值范围。
得 分
评卷人
20. （本小题共14分）
函数是定义在R上的偶函数，且
时，
，记函数的图像在
处的切线为
，
。
(Ⅰ) 求在
上的解析式；
(Ⅱ) 点列
在上，
依次为x轴上的点，如图，当
时，点
构成以
为底边的等腰三角形。若
，求数列
的通项公式；
(Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下，是否存在实数a使得数
列是等差数列？如果存在，写出
的一
个值；如果不存在，请说明理由。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
B
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分
9．60
10. 4 11. 
12. 2 13.
与
或 
与
14. -2；1
三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。
15. （本小题共13分）已知函数
（Ⅰ）求函数
的定义域； （Ⅱ）求函数在区间
上的最值。
解：（Ⅰ）由题意 
所求定义域为
{
}
…………4分
（Ⅱ）
…………9分
由
知 
，
所以当
时，取得最大值为
；
…………11分
当
时，取得最小值为0 。
…………13分
16.（本小题共13分）已知数列
中，
，当
时，函数
取得极值。（Ⅰ）求数列
的通项；（Ⅱ）在数列
中，
，
，求
的值
解：（Ⅰ） 
由题意
得 
， …………6分
又
所以 数列是公比为
的等比数列 所以 
…………8分
（Ⅱ） 因为 
，
…………10分
所以 
，
，
，……，
叠加得 
把代入得 =
…………13分
17. （本小题共14分）
如图，在正三棱柱
中，
,
是
的中点，点
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的正弦值；
（Ⅱ）证明
；(Ⅲ) 求二面角
的大小.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
，又是正△ABC边的中点，
，
∠
为所成角
又 
sin∠=
…………5分
（Ⅱ）证明: 依题意得 
，
，
因为
由（Ⅰ）知
， 而
，
所以 
所以
…………9分
(Ⅲ) 过C作
于
，作
于
，连接
， …………11分
又 
是所求二面角的平面角
，
二面角的大小为
…………14分
18. （本小题共13分）
某校高二年级开设《几何证明选讲》及《坐标系与参数方程》两个模块的选修科目。每名学生可以选择参加一门选修，参加两门选修或不参加选修。已知有60%的学生参加过《几何证明选讲》的选修，有75%的学生参加过《坐标系与参数方程》的选修，假设每个人对选修科目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。
(Ⅰ)任选一名学生，求该生参加过模块选修的概率；
(Ⅱ)任选3名学生，记
为3人中参加过模块选修的人数，求的分布列和期望。
解：(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件A，
参加过《坐标系与参数方程》的选修为事件B， 该生参加过模块选修的概率为P，
则
则 该生参加过模块选修的概率为0.9 …………6分
（另：
）
(Ⅱ) 可能取值0，1，2，3
=0.001，
=0.027
=0.243， 
=0.729
…………10分
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729
的分布列为
…………13分
19. （本小题共13分）
已知
分别为椭圆
的左、右焦点，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于直线，垂足为
，线段
的垂直平分线交
于点M。(Ⅰ)求动点M的轨迹
的方程；(Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设＝
，若∈[2，3]，求
的取值范围。
解：(Ⅰ)设M
，则
，由中垂线的性质知
|
|=
化简得的方程为
…………3分
（另：由知曲线是以x轴为对称轴，以
为焦点，以为准线的抛物线
所以 
，
则动点M的轨迹的方程为）
(Ⅱ)设
，由＝ 知 
①
又由在曲线上知 
②
由 ① ② 解得
所以
有 
…………8分
=
=
=
…………10分
设
有
在区间
上是增函数，
得
，进而有 
，所以的取值范围是
……13分
20. （本小题共14分）
函 数 
是 定 义 在R上 的 偶 函 数，且
时，
，记函数的图像在
处的切线为
，
。
(Ⅰ) 求在
上的解析式；
(Ⅱ) 点列
在
上，
依次为x轴上的点，
如图，当
时，点
构成以
为底边
的等腰三角形。若
，求数列
的通项公式；
(Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下，是否存在实数a使得数列是等差数列？如果存在，写出
的一个值；如果不存在，请说明理由。
解：(Ⅰ) 函数是定义在R上的偶函数，且
；是周期为2的函数
…………1分
由 可知
=-4 
，
…………4分
(Ⅱ) 函数的图像在处的切线为，且，
切线过点
且斜率为1，切线的方程为y=x+1
…………6分
在上，有 
即
点构成以为底边的等腰三角形
… ①
同理
… ② 两式相减 得 
…………11分
(Ⅲ) 假设是等差数列 ，则
…………14分
故存在实数a使得数列是等差数列。
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