姜堰市娄庄中学2008～2009学年度第二学期周周练
高三数学试题
一、填空题(每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上)
1．集合
▲ ．
2．“
”是“
”的 ▲ 条件．
3．在△ABC中，若（a＋b＋c）(b＋c－a)＝3bc，则A等于_____▲_______．
4．已知
>0，若平面内三点A（1，-），B（2，
），C（3，
）共线，则=___▲____.
5．已知
为椭圆
的两个焦点，过
的直线交椭圆于A、B两点,若
，则
=_____▲_______.
6．设双曲线
的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 ▲ ．
7．已知t为常数，函数
在区间[0，3]上的最大值为2，则t=____▲____.
8．已知点P在抛物线
上，那么点P到点
的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________▲______.
9．如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA
平面ABC，
ABBC，DA=AB=BC=
，则球O点体积等于_____▲______.
10．定义：区间
的长度为
.已知函数
定义域为
，值域为
，则区间的长度的最大值为 ▲ .
11．在平行四边形
中，
与
交于点
是线段
中点，
的延长线与
交于点
．若
，
，则
_____▲_____.
12．设
是正项数列，其前
项和
满足：
,则数列的通项公式
= ▲ .
13．若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点
、
与点
、
，则三角形面积之比为：
. 若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点
、
与点
、
和
、
，则类似的结论为：__ ▲
14．某几何体的一条棱长为
，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为__________▲___________.
二、解答题（本大题6小题，共90分）
15．（本小题满分14分）已知向量
,
,
。（1）若
,求
；（2）求
的最大值.
16．(本小题满分14分）某跳水运动员进行
米，入水处距池边的距离为
米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
17．（本小题满分15分）如图所示,在直四棱柱
中,DB=BC,
,点
是棱
上一点。（1）求证：
面
；（2）求证：
；（3）试确定点的位置,使得平面
平面
.
18．（本小题满分15分）已知圆O:x2+y2=2交x轴于A，B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为
的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P的坐标为（1,1）,求证:直线PQ与圆
相切；（3）试探究:当点P在圆O上运动时（不与A、B重合）,直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.
19．(本小题满分16分)已知是实数，函数
。⑴求函数f(x)的单调区间；⑵设g(x)为f(x)在区间
上的最小值。（1）写出g(a)的表达式；（2）求的取值范围，使得
.
20． (本小题满分16分)已知数列
的前n项和为
设集合
,
(1) 求数列的通项公式；(2) 若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上? 并说明理由;
(3) “
至多只有一个元素”是否正确? 若正确, 请证明; 若不正确, 请举例说明
第Ⅱ卷（附加题 共40分）
1． (本小题满分10分) 从极点作直线与另一直线
相交于点,在
上取一点
,使
。（1）求点的轨迹方程；（2）设
为
上的任意一点,试求
的最小值.
2．(本小题满分10分) 试求曲线
在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M =
，N =
．
3．(本小题满分10分)已知四棱锥
的底面为直角梯形，
，
底面，且
,是
的中点．（1）求与所成的角余弦值；（2）求二面角
的余弦值．
4.(本小题满分10分)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，f6(x)=2．（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数
的分布列和数学期望．
第Ⅰ卷
一、填空题:
1. {1,2,3}; 2.充分非必要;3.
; 4.
; 5. 8; 6. (历史) 5049; (物理) 
; 7. 1; 8.
9.
;10.
; 11.
; 12.
;13.
;14. 4.
二、解答题：
15. 解：（1）因为
,所以
…………（3分）
得
（用辅助角得到
同样给分） ………（5分）
又
,所以
=
……………………………………（7分）
（2）因为
………………………（9分）
=
…………………………………………（11分）
所以当=
时, 
的最大值为5＋4=9 …………………（13分）
故
的最大值为3 ………………………………………（14分）
16. (选历史方向) 解: （1）表格为:
高 个
非高个
合 计
大 脚
5
2
7
非大脚
1
13
合 计
6
14
…… （3分）
（说明:黑框内的三个数据每个1分,黑框外合计数据有错误的暂不扣分）
（2）提出假设H0: 人的脚的大小与身高之间没有关系. …………………………… （4分）
根据上述列联表可以求得
.…………………… （7分）
当H0成立时,
的概率约为0.005,而这里8.802>7.879,
所以我们有99.5%的把握认为: 人的脚的大小与身高之间有关系. ……………… （8分）
（3）
①抽到12号的概率为
………………………………… （11分）
②抽到“无效序号（超过20号）”的概率为
…………………… （14分）
(选物理方向) 解：（Ⅰ）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，
抛物线的解析式为
． …………………………… 2′
由题意，知O（0，0），B（2，－10），且顶点A的纵坐标为
．…………… 4′
或
……………………………
8′
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴
,又∵抛物线开口向下，∴a＜0,
从而b＞0,故有
……………………………9′
∴抛物线的解析式为
. ……………………………10′
（Ⅱ）当运动员在空中距池边的水平距离为
米时，
即
时，
， ……………………………12′
∴此时运动员距水面的高为10－
＝
＜5，因此，此次跳水会失误.………………14′
17. （1）证明：由直四棱柱,得
,
所以
是平行四边形,所以
…………………（3分）
而
,
,所以
面
………（4分）
（2）证明：因为
, 所以
……（6分）
又因为
,且
，所以
………
……（8分）
而
，所以
…………………………（9分）
（3）当点
为棱
的中点时,平面
平面
…………………（10分）
取DC的中点N,
,连结
交
于
,连结
.
因为N是DC中点,BD=BC,所以
；又因为DC是面ABCD与面
的交线,而面ABCD⊥面,
所以
……………（12分）
又可证得,是的中点,所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四边形,所以BN∥OM,所以OM平面
,
因为OM?面DMC1,所以平面平面………………………（14分）
18. 解：（1）因为
,所以c=1……………………（2分）
则b=1,即椭圆
的标准方程为
…………………………（4分）
（2）因为
（1,1）,所以
,所以
,所以直线OQ的方程为y=－2x（6分）
又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q（－2,4） …………………………（7分）
所以
,又
,所以
,即
,
故直线
与圆相切……………………………………………………（9分）
（3）当点在圆上运动时,直线与圆保持相切 ………（10分）
证明:设
（
）,则
,所以
,
,
所以直线OQ的方程为
……………（12分）
所以点Q（－2,
） ………………
（13分）
所以
,
又
,所以,即,故直线始终与圆相切……（15分）
19.⑴解：函数的定义域为
，
（
）…… （2分）
若
，则
，
有单调递增区间． ……………… （3分）
若
，令
，得
，
当
时，
，
当
时，． ……………… （5分）
有单调递减区间
，单调递增区间
． ……………… （6分）
⑵解:(i)若，在
上单调递增，所以
． ……… （7分）
若
，在上单调递减，在
上单调递增，
所以
． ………………
（9分）
若
，在上单调递减，所以
．………… （10分）
综上所述，
……………… （12分）
（ii）令
．若，无解． ………………
（13分）
若，解得
． ……………… （14分）
若，解得
． ………………
（15分）
故
的取值范围为
． ……………… （16分）
20. (1)数表中第
行的数依次所组成数列的通项为
，则由题意可得
… （2分）
(其中
为第
行数所组成的数列的公差)
(4分)
(2)
第一行的数依次成等差数列，由(1)知，第2行的数也依次成等差数列，依次类推，可知数表中任一行的数(不少于3个)都依次成等差数列. ……………… （5分）
设第行的数公差为
,则
，则
…………… （6分）
所以
(10 分)
(3)由
，可得
所以
=
……………… （11分）
令
,则
,所以 
………… （13分）
要使得
，即
，只要
=
，
，
，所以只要
,
即只要
,所以可以令
则当
时，都有.
所以适合题设的一个函数为
(16分)
第Ⅱ卷（附加题 共40分）
1. （1）设动点P的坐标为
,M的坐标为
,
则
即为所求的轨迹方程. …………（6分）
（2）由（1）知P的轨迹是以（
）为圆心，半径为
的圆，易得RP的最小值为1
.……（10分）
2. 
，|x－a|＜l，
，
…………………………………………………5分
=
………………………10分
3. 证明：以
为坐标原点
长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
．
（1）解：因
所以，
与
所成的角余弦值为
…………………………………5分
（2）解：在
上取一点
，则存在
使
要使
为
所求二面角
的平面角．
…………………………………10分
另解：可以计算两个平面的法向量分别为：平面ＡＭＣ的法向量
，平面ＢＭＣ的法向量为
，
=
， 所求二面角的余弦值为－．
4. （1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知
………………………………4分
（2）ξ可取1，2，3，4．
，
；………………8分
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
答：ξ的数学期望为
………………………………10分
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