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    2009年盛兴中英文学校高三模拟考试

         理科数学    2009年4月2日

    一 选择题（每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

    1．等差数列的前项和为，若，，则（　　）

    Ａ．                Ｂ．                Ｃ．                  Ｄ．

    2．“”是“”的（　　）

    Ａ．充分而不必要条件              Ｂ．必要而不充分条件

    Ｃ．充要条件                            Ｄ．既不充分也不必要条件

    3．.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为           

    A

     

    2

     

     

     

    A       B   36        C  24        D 

    4．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（  

    A．            B．            C．         D．

    5对，记函数的最小值是

    （A）0        （B）        （C）       （D）3

    6如图，和分别是双曲线

    的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）

    A．                B．         C．         D．

    7．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（　　）

    Ａ．若，则              Ｂ．若，则

    Ｃ．若，则                            Ｄ．若，则

    8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（　　）

     

     

     

     

     

    Ａ．                Ｂ．               
    Ｃ．                Ｄ．

    二 填空题（每小题5分，共20分；请把答案填在答题卡的相应横线上）

    9．的值为＿＿＿＿＿＿。

    10 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有＿＿＿＿＿种（用数字作答）。

    11．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是              （写出所有正确结论的编号）．

    ①矩形；②不是矩形的平行四边形；

    ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

    ④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

    12.如图，是一个人出差从A城出发到B城去，沿途可能经

    过的城市的示意图，通过两城市所需的时间标在两城市之间的连线上（单位：小时），则此人从A城出发到达B城所需的最少时间为         小时。

     

     

     

     

    以下两个小题中选做一题，三题都选的只计算前两小题的得分

    。

    13（几何证明选讲选做题）已知圆的半径为，

    从圆外一点引切线和割线，圆心到  

    的距离为，，则切线的长为 

    ____________．

    14.在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为    

    15、已知都是正数，且则的最小值是      

    三 解答题

    16如图，函数其中()的图象与轴交于点（0，1）

    （Ⅰ）求的值；

    （Ⅱ）设是图象上的最高点，M，N是图象与轴的交点，求与的夹角。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    17．（本小题满分12分）

    在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：

    （I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；

    分组

    频数

    频率

    4

    0.04

    25

    0.25

    30

    0.30

    29

    0.29

    10

    0.10

    2

    0.02

    合计

    100

    1.00

    （II）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？

    （III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值

    （例如区间的中点值是）

    作为代表．据此，估计纤度的期望．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    18. 设函数f（x）=ax3+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1,f（1））处的切线与直线x－6y－7=0垂直，导函数f＇（x）的最小值为－12.

    （Ⅰ）求a，b，c的值；

    （Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在〔－1,3〕上的最大值和最小值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    19  如图，三棱柱ABC―A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.

    　 （Ⅱ）求二面角C1―BD―C的余弦值；

       （Ⅲ）在侧棱AA­1上是否存在点P，使得

    CP⊥面BDC1？并证明你的结论.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    20 如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．

    （I）求边所在直线的方程；

    （II）求矩形外接圆的方程；

    （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    21 已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数.

    （Ⅰ）用xx表示xn+1；

    （Ⅱ）若a1=4，记an=lg，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；

    （Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2009年高三第二学期模拟考试理科数学 da an

    一  CAAAC  CDA

    二  9       10             11   ①③④⑤    12    48     

          13               14          15     12

    三解答：

    （16）本题主要考查三角函数的图象，已知三角函数值求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。

    满分14分。

    解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1）

    所以 ,即

    因为所以.

    （Ⅱ）由函数及其图象，得
     

    所以 从而

                  

     

    17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．

    解：（Ⅰ）

    （Ⅱ）纤度落在中的概率约为，纤度小于1.40的概率约为．

    （Ⅲ）总体数据的期望约为

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     18 （Ⅰ）∵为奇函数，

    ∴

    即

    ∴

    ∵的最小值为

    ∴

    又直线的斜率为

    因此，

    ∴，，．

    （Ⅱ）．

    　　　，列表如下：

    极大

    极小

    　　　所以函数的单调增区间是和

    ∵，，

    ∴在上的最大值是，最小值是．

    20解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．

    又因为点在直线上，

    所以边所在直线的方程为．

    ．

    （II）由解得点的坐标为，

    因为矩形两条对角线的交点为．

    所以为矩形外接圆的圆心．

    又．

    从而矩形外接圆的方程为．

    （III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，

    所以，

    即．

    故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

    因为实半轴长，半焦距．

    所以虚半轴长．

    从而动圆的圆心的轨迹方程为

    21（Ⅰ）由题可得．

    所以曲线在点处的切线方程是：．

    即．

    令，得．

    即．

    显然，∴．

    （Ⅱ）由，知，同理．

    　　　故．

    从而，即．所以，数列成等比数列．

    故．

    即．

    从而

    所以

    （Ⅲ）由（Ⅱ）知，

    ∴

    ∴

    当时，显然．

    当时，

    ∴

    ．

    　　　综上，．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     


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