北京市西城区 2009年4月抽样测试
高三数学试卷（文科） 2009.4
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
题号
分数
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合
，那么集合
等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 函数
的最小正周期为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
3. 若数列
是公差为2的等差数列，则数列
是（ ）
A. 公比为4的等比数列
B. 公比为
的等比数列
C. 公比为
的等比数列
D. 公比为
的等比数列
4. 由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有（ ）
A. 48 个 B. 72 个
C. 96 个 D. 120 个
5.设实数x, y满足
，则
的最小值为（ ）
A. 
B.
C. 5 D. 27
6. 在平面直角坐标系中， A为平面内一个动点，
. 若
（O为坐标原点），则动点A的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D. 圆
7．已知直线a 和平面
，那么
的一个充分条件是（ ）
A. 存在一条直线b，
B. 存在一条直线b，
C. 存在一个平面
D. 存在一个平面
8. 函数f (x)的定义域为D，若对于任意
，当
时，都有
，则称函数
在D上为非减函数 .
设函数f (x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
1
； 2
； 3
.
则
等于（ ）
A. 
B.
C.
1
D. 
北京市西城区 2009年抽样测试
高三数学试卷（文科） 2009.4
第Ⅱ卷( 共110分)
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .
9. 某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 为了调查他们的身体情况，用分层抽样的方法从他们中抽取了n个人进行体检，其中有6名老年人，那么n=_________.
10. 
的展开式中
的系数是___________.(用数字作答)
11. 设a为常数，
.若函数
为偶函数，则
=__________；
=_______.
12. 设O为坐标原点，向量 
.将
绕着点 
按逆时针方向旋转 
得到向量 
, 则
的坐标为____________.
13. 已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上. 设此正方体的表面积为
，球的表面积
，则
=_____________.
14．如图，从双曲线
的左焦点F1引圆
的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点. 设M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则
=_____________；
=__________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分12分）
设
的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值.
16.（本小题满分12分）
某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生. 在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言. 设每人每次被选中与否均互不影响.
（Ⅰ）求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率；
（Ⅱ）求男生发言次数不少于女生发言次数的概率.
17.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
又
.
(Ⅰ) 求证：
平面
；
(Ⅱ) 求PA与平面ABCD所成角的大小；
(Ⅲ) 求二面角B-PD-C的大小.
18.（本小题满分14分）
设等差数列的前n项和为
，且
（c是常数，
N*），
.
（Ⅰ）求c的值及的通项公式；
（Ⅱ）证明：
.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆C
，过点M(0, 1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.
（Ⅰ）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点
，求
的最大值.
20.（本小题满分14分）
已知函数
R).
（Ⅰ）若a=1，函数的图象能否总在直线
的下方？说明理由；
（Ⅱ）若函数在（0，2）上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设
为方程
的三个根，且
，
，
,求证：
.
高三数学试卷（文科） 2009.4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
A
D
C
A
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9. 36
10. 10 11.
2, 8 12. 
13. 
14.
5, 2
注：两空的题目，第一个空3分，第二个空2分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.
15.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由余弦定理
，
----------------------------3分
得
.
---------------------------5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 
,
所以角
为锐角，所以
，
----------------------------7分
则
--------------------------10分
.
所以
.
---------------------------12分
16.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：记 “2次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为事件A. -----------------------------1分
由题意，得事件A的概率
，
即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为
.
---------------------------5分
（Ⅱ）解：由题意，每次汇报时，男生被选为代表的概率为
，女生被选为代表的概率为
.
----------------------------6分
记“男生发言次数不少于女生发言次数”为事件B，
由题意，事件B包括以下两个互斥事件：
1事件B1：男生发言2次女生发言0次，其概率为
，
----------------------------8分
2事件B2：男生发言1次女生发言1次，其概率为
，
----------------------------10分
所以，男生发言次数不少于女生发言次数的概率为
.
---------------------------12分
17.（本小题满分14分）
方法一：（Ⅰ）证明：在
中，
，
，
，即
，
---------------------------1分
，
平面
.
---------------------------4分
（Ⅱ）如图，连接AC，由（Ⅰ）知
平面
，
AC为PA在平面ABCD内的射影，
为PA与平面ABCD所成的角. --------------6分
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
，
PA与平面ABCD所成角的大小为
.
---------------------------8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
又
，
平面
.
---------------------------9分
如图，过C作
于M，连接BM，
是BM在平面PCD内的射影，
，
为二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------11分
在
中, 
, PC=1, 
，
，
又，
，
，
在
中, 
, BC=1, 
,
,
二面角B-PD-C的大小为
.
--------------------------14分
方法二：（Ⅰ）同方法一. ---------------------------4分
（Ⅱ）解：连接AC，由（Ⅰ）知平面，
AC为PA在平面ABCD内的射影，
为PA与平面ABCD所成的角.
---------------------------6分
如图，在平面ABCD内，以C为原点， CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，
则
, 
，
---------------------------7分
，
PA与平面ABCD所成角的大小为
.
---------------------------9分
（Ⅲ）过C作
于M，连接BM，设
，
则
，
，
；
1
共线，
，
2
由12，解得
，
点的坐标为
，
，
，
,
，
又，
为二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------12分
，
，
，
二面角B-PD-C的大小为
.
--------------------------14分
18.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：因为
，
所以当
时，
，解得
，
---------------------------2分
当
时，
，即
，解得
，
所以
，解得
；
---------------------------5分
则
，数列
的公差
，
所以
.
---------------------------8分
（Ⅱ）因为 
---------------------------9分
---------------------------12分
.
因为
，
所以 
.
-------------------------14分
注：为降低难度，此题故意给出多余条件，有多种解法，请相应评分.
19.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：设A(x1, y1)，
因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，
所以
，解得
，
-------------------------1分
又因为点A(x1, y1)在椭圆C上，
所以
，即
，解得
，
则点A的坐标为
或
，
-------------------------3分
所以直线l的方程为
，或
. -------------------------5分
（Ⅱ）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则
所以
，
则
，
-------------------------7分
当直线AB的斜率不存在时，其方程为
，
，此时
；
-------------------------8分
当直线AB的斜率存在时，设其方程为
，
由题设可得A、B的坐标是方程组
的解，
消去y得
，
所以
， -------------------------10分
则
，
所以
，
当
时，等号成立, 即此时
取得最大值1. -------------------------13分
综上，当直线AB的方程为或
时，有最大值1. -------------------14分
20.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：当
时，
，
因为
，
所以，函数
的图象不能总在直线
的下方.
---------------------------3分
（Ⅱ）解：由题意，得
，
令
，解得
或
，
--------------------------4分
当
时，由
，解得
，
所以在
上是增函数，与题意不符，舍去；
当
时，由
，与题意不符，舍去； --------------------------6分
当
时，由，解得
，
所以在
上是增函数，
又在(0，2)上是增函数，
所以
，解得
，
综上，a的取值范围为
.
---------------------------9分
（Ⅲ）解：因为方程
最多只有3个根，
由题意，得在区间
内仅有一根，
所以
，
1
同理
，
2
--------------------------11分
当
时，由1得
，即
，
由2得
，即
，
因为
，所以
，即
；
当
时，由1得
，即
，
由2得
，即
，
因为，所以
，即
；
当
时，因为
，所以
有一根0，这与题意不符.
综上，
.
---------------------------14分
注：在第（Ⅲ）问中，得到12后，可以在坐标平面aOb内，用线性规划方法解. 请相应评分.
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