例1. 的值是_________________。

解：从组合数定义有：

又

代入再求，得出466。

例2. 到椭圆右焦点的距离与到定直线x＝6距离相等的动点的轨迹方程是_______________。

解：据抛物线定义，结合图1知：

图1

轨迹是以（5，0）为顶点，焦参数P＝2且开口方向向左的抛物线，故其方程为：

（二）直接法

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

例3设其中i，j为互相垂直的单位向量，又，则实数m =              。

解：∵，∴∴，而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。

例4已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是      。

解：，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴。

例5现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为         。

解：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为。

（三）特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

例6 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则             。

解：特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。

例7 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则           。

分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而。

例8  求值         。

分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。

例9如果函数f(x)=x²+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小关系是              。

解：  由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)²,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。

 例10已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁,a₃,a₉成等比数列，则的值是    --。

解：  考虑到a₁,a₃,a₉的下标成等比数列，故可令a_n=n满足题设条件，于是=。

例11椭圆+=1的焦点为F₁、F₂，点P为其上的动点，当∠F₁PF₂为钝角时，点P横坐标的取值范围是               。

解：  设P(x,y)，则当∠F₁PF₂=90°时，点P的轨迹方程为x²+y²=5，由此可得点P的横坐标x=±，又当点P在x轴上时，∠F₁PF₂=0；点P在y轴上时，∠F₁PF₂为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是-<x<。

（四）数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例12   如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是          。

解：根据不等式解集的几何意义，作函数和

函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取

值范围是。

例13  已知实数x、y满足，则的最大值是         。

解：可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为。

（五）等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

例14  不等式的解集为（4，b），则a=           ，b=          。

解：设，则原不等式可转化为：∴a > 0，且2与是方程的两根，由此可得：。

例15  不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是        。

解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴。

例16  函数单调递减区间为             。

解：易知∵y与y²有相同的单调区间，而，∴可得结果为。

    总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。

（六） 淘汰法

当全部情况为有限种时，也可采用淘汰法。

例17. 已知，则与同时成立的充要条件是____________。

解：按实数b的正、负分类讨论。

当b>0时，而等式不可能同时成立；

当b＝0时，无意义；

当b<0时，若a<0，则两不等式不可能同时成立，以上三种情况均被淘汰，故只能为a>0，b<0，容易验证，这确是所要求的充要条件。

1已知函数，则

讲解　由，得，应填4.

2． 集合的真子集的个数是

讲解　，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.

3．在四面体中，为的中点，为的中点，则        （用表示）．

4．（07广东）在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是           ．

5．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为          ．

6. 某地球仪上北纬纬线的长度为，则该地球仪的表面积是___________

答案： cm²

7.如果函数，那么　

讲解　容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是

    原式＝，应填

8．下面有五个命题：

①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是.

②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.

④把函数

⑤函数

其中真命题的序号是    ① ④

9.　如果函数的图象关于直线对称，那么

讲解　，其中.

是已知函数的对称轴，

，

即　　　　，

于是　　　　　故应填 .

10.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，．若，则的值为

　　　6　　．

11．已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么

    讲解　特别取，有，于是有　　　　　　　  故应填2.

12.以下四个命题：

①

②

③凸n边形内角和为
④凸n边形对角线的条数是

其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是　　　　　　　.

讲解 ①当n=3时，，不等式成立；

②       当n=1时，，但假设n=k时等式成立，则

　　　；

③　，但假设成立，则

④　，假设成立，则

故应填②③.

　13．某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为　　　　　　　.

    讲解 　中奖号码的排列方法是：　奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共有种，于是中奖面为

    故应填

14．  的展开式中的系数是

_{讲解　由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有}

_{故应填1008.}

   15． 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.

讲解　长方体的对角线就是外接球的直径,　即有

从而　　　，故应填

16． 如右图，E、F分别是正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是　　　　　.（要求：把可能的图的序号都填上）

讲解  因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB₁A₁、面ADD₁A₁上的射影.

四边形BFD₁E在面ABCD和面ABB₁A₁上的射影相同，如图2所示；

四边形BFD₁E在该正方体对角面的ABC₁D₁内，它在面ADD₁A₁上的射影显然是一条线段，如图3所示.  故应填23.

    17． 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.

讲解  记椭圆的二焦点为，有

则知        

    显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.

    故应填或

  18．  一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.

讲解   依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 

    由                  

消去x，得                                          （*）

解出                 或

    要使（*）式有且只有一个实数根，只要且只需要即

    再结合半径，故应填

19． 已知a、b、c、d是四条互不重合的直线，且c、d分别为a、b在平面α上的射影，给出下面两组四个论断：

第一组：①a⊥b,②a∥b;

第二组：③c⊥d,④c∥d。

分别从两组中各选一个论断，使一个作条件，另一个作结论，写出一个正确的命题：                                              。

. 答：a∥bc∥d

20．定义在（-∞，+∞）上的偶函数f(x)满足：f(x+1)= -f(x)，且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：

①f(x)是周期函数；

②f(x)的图像关于直线x=1对称；

③f(x)在[0，1]上是增函数；

④f(x)在[1，2]上是减函数；

⑤f(2)=f(0)。

其中正确的判断是            （把你认为正确的判断都填上）。

答：①②⑤

21．如图14-10，已知正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面                  。

（注：只需任意写出一个）

答：截面AB₁D₁，或截面ACD₁，或截面AB₁C 

22．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有　390　　　　种（用数字作答）．

23.随机变量的分布列如下：

其中成等差数列，若，则的值是          ．

24. 已知数列，，且数列的前项和为，那么的值为__________答：99

25. ．有两个向量，。今有动点，从开始沿着与向量+相同的方向作匀速直线运动，速度为|+|；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为|3+2|．设、在时刻秒时分

别在、处，则当时，    2       秒．