第四讲  导数及其应用（2）

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．已知对任意实数，有，且时，，则时（  B  ）

A．          B．

C．          D．

2．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（  D  ）

Ａ．        Ｂ．    Ｃ．    Ｄ．

3．设在内单调递增，，则是的（　B　）

Ａ．充分不必要条件              Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件                Ｄ．既不充分也不必要条件

4．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（  D  ）

5．函数的单调递增区间是＿＿＿＿．

6．若直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线，则a=            ；

★★★高考要考什么

1．  导数的定义：

2．  导数的几何意义：

（1）       函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；

（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；

3．要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：和。

4．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y′，3）、令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y′<0时，f(x)在相应区间上是减函数

5．求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。

6．设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

7．最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。

★★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知函数在处取得极值.

  （1）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值；

（2）过点作曲线y= f(x)的切线，求此切线方程.

（1）解：，依题意，，即

  解得. ∴.

  令，得.

若，则，故

f(x)在上是增函数，

f(x)在上是增函数.

若，则，故f(x)在上是减函数.

所以，是极大值；是极小值.

（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.

设切点为，则点M的坐标满足.

因，故切线的方程为

注意到点A（0，16）在切线上，有

  化简得，解得.

所以，切点为，切线方程为.

【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.

【范例2】（安徽理）设a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

解：（Ⅰ）根据求导法则有，

故，

于是，

列表如下：

2

0

极小值

故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．

（Ⅱ）证明：由知，的极小值．

于是由上表知，对一切，恒有．

从而当时，恒有，故在内单调增加．

所以当时，，即．

故当时，恒有．

【点晴】本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．

【范例2】已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；

（II）求证：（）．

解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，则．于是

当，即时，；

当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为．

（Ⅱ）设，

则．

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是．

故当时，有，即当时，．

【点晴】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

变式：已知函数.

   （1）求函数y= f(x)的反函数的导数

   （2）假设对任意成立，求实数m的取值范围.

解：（1）；

（2）

令：

所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当即，于是得  

解法二：由得

设

于是原不等式对于恒成立等价于 ③…7分

由，注意到

故有，从而可均在

上单调递增，因此不等式③成立当且仅当

即

【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.