第四讲  导数及其应用

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．已知对任意实数，有，且时，，则时（  B  ）

A．          B．

C．          D．

2．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A  ）

Ａ．      Ｂ．      Ｃ．      Ｄ．

3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A

   A．                      B．

C．                      D．

4．函数，已知在时取得极值，则=（B）

A.2             B.3             C.4             D.5

5．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．32

6．已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．3

7．设a为实数,函数               

(Ⅰ)求f(x)的极值.

(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y= f(x)轴仅有一个交点.

解：(I)=3－2－1

若=0，则==－，=1

当变化时，，变化情况如下表：

(－∞，－)

－

(－，1)

1

(1，+∞)

+

0

－

0

+

极大值

极小值

∴f(x)的极大值是，极小值是

(II)函数

由此可知，取足够大的正数时，有f(x)>0，取足够小的负数时有f(x)<0，所以曲线y= f(x)与轴至少有一个交点

结合f(x)的单调性可知：

当f(x)的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线= f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。

当f(x)的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y= f(x)与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。

∴当∪(1，+∞)时，曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点

★★★高考要考什么

1．  导数的几何意义：

（1）       函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；

（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；

2．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y′，3）、令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y′<0时，f(x)在相应区间上是减函数

3．求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。

4．设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

5．最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。

★★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知函数在处取得极值.

  （1）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值；

（2）过点作曲线y= f(x)的切线，求此切线方程.

（1）解：，依题意，，即

  解得. ∴.

  令，得.

若，则，故

f(x)在上是增函数，

f(x)在上是增函数.

若，则，故f(x)在上是减函数.

所以，是极大值；是极小值.

（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.

设切点为，则点M的坐标满足.

因，故切线的方程为

注意到点A（0，16）在切线上，有

  化简得，解得.

所以，切点为，切线方程为.

【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.

【范例2】(安徽文)设函数f（x）=-cos²x-4tsincos+4t²+t²-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；

(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

解：（I）我们有

         ．

由于，，故当时，达到其最小值，即

．

 （II）我们有．

列表如下：

极大值

极小值

由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．

【点晴】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．

【范例2】已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．

解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，

设两实根为（），则，且．于是

，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在点处的切线的方程是

，即，

因为切线在点处空过的图象，

所以在两边附近的函数值异号，则

不是的极值点．

而，且

．

若，则和都是的极值点．

所以，即，又由，得，故．

解法二：同解法一得

．

因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

设，则

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

由知是的一个极值点，则，

所以，又由，得，故．

变式：设函数在及时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

解：（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范围为．