第九讲  三角函数的求值

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．（海南）若，则的值为（C）

Ａ．      Ｂ．            Ｃ．              Ｄ．

2．（天津）“”是“”的（A）

Ａ．充分而不必要条件     Ｂ．必要而不充分条件

Ｃ．充分必要条件            Ｄ．既不充分也不必要条件

3. 在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时， （  D  ）

（A）           （B）           （C）           （D）

4．（江苏）若，，则_____

5．（浙江）已知，且，则的值是

6．已知函数f(x)＝－sin²x＋sinxcosx．

   (Ⅰ) 求f()的值； (Ⅱ) 设∈(0，)，f()＝－，求sin的值．

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) ，

   解得

★★★高考要考什么

【考点透视】

本专题主要涉及同角三角函数基本关系，诱导公式，两角和差公式，倍角公式，升幂缩角、降幂扩角公式等公式的应用.

【热点透析】

三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一  通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍

★★★突破重难点

【范例1】设0£q£p,P=sin2q+sinq-cosq

（1）   若t= sinq-cosq,用含t的式子表示P;

（2）   确定t的取值范围，并求出P的最大值.

解析（1）由有

（2）

即的取值范围是

在内是增函数，在内是减函数.

的最大值是

【点晴】间通过平方可以建立关系，“知其一，可求其二”．

【范例2】已知为的最小正周期， ，且．求的值．

解：因为为的最小正周期，故．

因，又．

故．

由于，所以

【范例3】设．

（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若锐角满足，求的值．

解：（Ⅰ）

．

故的最大值为；

最小正周期．

（Ⅱ）由得，故．

又由得，故，解得．

从而．

【范例4】已知的面积S 满足且与的夹角为.

(1) 求的取值范围；

(2) 求函数的最小值.

解： （1）由题意知，   ①

   ②

由②①，得即由得

又为与的夹角，

（2）

＝

即时，的最小值为3

【范例5】已知函数，．

（I）求的最大值和最小值；

（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．

解：（Ⅰ）

．

又，，即，

．

（Ⅱ），，

且，

，即的取值范围是．

【变式】已知f（x）=2asin²x－2asinx+a+b的定义域是［0,］，值域是［－5，1］,求a、b的值.

解析  令sinx=t，∵x∈［0，］，∴t∈［0，1］，

f（x）=g（t）=2at²－2at+a+b=2a（t－）²+b.

当a＞0时，则     解之得a=6，b=－5.

当a＜0时，则    解之得a=－6，b=1.

【点睛】注意讨论的思想