第十、十一讲   三角函数的图象与性质

★★★高考在考什么

【考题回放】

1.已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（　D　）

（A）偶函数且它的图象关于点对称

（B）偶函数且它的图象关于点对称

（C）奇函数且它的图象关于点对称

（D）奇函数且它的图象关于点对称

2．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为    （ D ）

（A）       （B）        （C）      （D）

3．函数y = －x?cosx的部分图象是(  D  )

4．① 存在使

② 存在区间（a，b）使为减函数而＜0

③ 在其定义域内为增函数

④ 既有最大、最小值，又是偶函数

⑤ 最小正周期为π

以上命题错误的为____________.①②③⑤

5．把函数y=cos(x+)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y对称，则φ的最小正值为       

6．设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，并且当x=时，有最大值f（）=4.

（1）求a、b、ω的值；

（2）若角a、β的终边不共线，f（a）=f（β）=0，求tan（a+β）的值.

【专家解答】（1）由=π，ω＞0得ω=2.  ∴f（x）=asin2x+bcos2x.

由x=时，f（x）的最大值为4，得

（2）由(1)得f（x）=4sin（2x+）, 依题意4sin（2α+）=4sin（2β+）=0.

∴sin（2α+）－sin（2β+）=0.   ∴cos（α+β+）sin（α－β）=0

∵α、β的终边不共线，即α－β≠kπ（k∈Z）， 故sin（α－β）≠0.

∴α+β=kπ+（k∈Z）.∴tan（α+β）=.

★★★高考要考什么

【考点透视】

本专题主要涉及正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法：“五点法”和变换作图（平移、对称、伸缩）；三角函数的性质包括定义域、值域（最值），单调性、奇偶性和周期性.

【热点透析】

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来  本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 常见题型：

1  考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用 

2  三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力  在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 

3  三角函数与实际问题的综合应用 

此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用

★★★突破重难点

【范例1】右图为y=Asin(wx+j)的图象的一段，求其解析式。

解析  法1以M为第一个零点，则A=，

所求解析式为

点M（在图象上，由此求得

所求解析式为

法2. 由题意A=，，则

图像过点        

即 取

所求解析式为

【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使A取正值.

 2. 由图象求解析式或由代数条件确定解析式时,应注意:

(1) 振幅 A=

(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为, 由此推出的值.

(3) 确定值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定.

【范例2】已知函数，

（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；

（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。

解析 （1）由题意得sinx-cosx＞0即，

从而得，

∴函数的定义域为，

∵，故0＜sinx-cosx≤，所有函数f(x)的值域是。

（2）单调递增区间是

单调递减区间是，

（3）因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。

（4）∵

     ∴函数f(x)的最小正周期T=2π。

【点睛】此题主要是考察对数函数与三角函数复合而成的复合函数的性质

【范例3】设函数，其中向量，，，且的图象经过点．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合．

解：（Ⅰ），

由已知，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

当时，的最小值为，

由，得值的集合为．

【范例4】设函数，，

其中，将的最小值记为．

（I）求的表达式；

（II）讨论在区间内的单调性并求极值．

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．

解：（I）我们有

         ．

由于，，故当时，达到其最小值，即

．

 （II）我们有．

列表如下：

极大值

极小值

由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．

【范例5】已知二次函数f(x)对任意xÎR，都有f(1-x)= f(1+x)成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当xÎ [0，]时，求不等式f（）＞f（）的解集．

解析:设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）因为，，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．

∵　，，，，，

，

∴　当时，

，．

∵　，　∴　．

当时，同理可得或．

综上的解集是当时，为；

当时，为，或．

【点晴】此题是三角函数与平面向量的综合问题。利用函数的单调性解不等式是该题的重点和难点.

【变式】试判断方程sinx=实数解的个数.

解析 方程sinx=实数解的个数等于函数y=sinx与y=的图象交点个数

∵|sinx|≤1∴||≤1,  |x|≤100л

当x≥0时，如右图，此时两线共有

100个交点，因y=sinx与y=都是奇函数，由对称性知当x≥0时，也有100个交点，原点是重复计数的所以只有199个交点。

【点睛】 此题主要考察数形结合解题的能力。该题在统计根的个数时，要注意原点的特殊性.