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第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题（一）

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )

A.( 1,2)          B. (1,2)           C.           D.(2,+∞)

2． P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)²＋y²＝4和(x－5)²＋y²＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D  ）

A. 6              B.7              C.8                D.9

3．抛物线y=-x²上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )

A．               B．           C．               D．

4．已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）

    (A)           (B)           (C)          (D)

5．已知抛物线y²=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，则y₁²+y₂²的最小值是   32       .

6．对于抛物线y²=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是( B )

（A）（－∞，0）     （B）（－∞，2     （C）［0，2］         （D）（0，2）

★★★高考要考什么

【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；

（6）构造一个二次方程，利用判别式D³0。

★★★突破重难点

【例1】已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.

解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

所求方程为： （x>0）

（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x₀，

此时A（x₀，），B（x₀，－），＝2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，

代入双曲线方程中，得：(1－k²)x²－2kbx－b²－2＝0

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则

解得|k|>1，

又＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋（kx₁＋b）（kx₂＋b）

＝（1＋k²）x₁x₂＋kb（x₁＋x₂）＋b²＝>2

综上可知的最小值为2

【例2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。

解：因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义

于是 为定值

其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为

所以，当取得最小值时，B点坐标为

【例3】已知P点在圆x²+(y-2)²=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。

解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O₁时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O₁Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O₁Q|²= x²+(y-4)²   ①

因Q在椭圆上,则x²=9(1-y²)     ②

将②代入①得|O₁Q|²= 9(1-y²)+(y-4)²

因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，

此时

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。

【例4】已知椭圆的一个焦点为F₁(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。

（1）求椭圆方程；

（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。

（1）解：依题意e ，

    ∴a＝3，c＝2，b＝1，

    又F₁(0，－2)，对应的准线方程为

    ∴椭圆中心在原点，所求方程为

 (2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分

∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m

由消去y，整理得 (k²＋9)x²＋2kmx＋m²－9＝0

∵l与椭圆交于不同的两点M、N，

∴Δ＝4k²m²－4(k²＋9)(m²－9)＞0  即m²－k²－9＜0       ①

设 M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)        ②

把②代入①式中得，

∴k＞或k＜－

∴直线l倾斜角

第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题（二）

【例5】长度为（）的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且（为常数且）．

（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹类型；

（2）当=2时，已知直线与原点O的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的取值范围．

答案：(1)设、、，则

，由此及，得

，即 （*）

①当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．

②当时，方程（*）的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆．

③当时，方程（*）的轨迹是焦点为以O点为圆心，为半径的圆．

（2）设直线的方程：，据题意有，即．

由得 ．

因为直线与椭圆有公共点，所以 

又把代入上式得 ：．

【例6】椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2.

（1）用直线的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。

解：（1）设椭圆E的方程为( a＞b＞0 )，由e =

∴a²=3b²   故椭圆方程x² + 3y² = 3b²

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),由于点C（－1，0）分向量的比为2，

∴             即

由消去y整理并化简得    (3k²+1)x²+6k²x+3k²－3b²=0

由直线l与椭圆E相交于A（x₁,y₁）, B(x₂,y₂)两点得：

而S_△OAB  ⑤

由①③得:x₂+1=－，代入⑤得：S_△OAB  =

（2）因S_△OAB=,

当且仅当S_△OAB取得最大值

此时 x₁ + x₂ =－1, 又∵  =－1    ∴x₁=1,x₂ =－2

将x₁,x₂及k² = 代入④得3b² = 5 ∴椭圆方程x² + 3y² = 5

【例7】设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，若试求l的取值范围.

解：当直线垂直于x轴时，可求得;

当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得

解之得 

因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.

当时，，，

所以 ＝＝＝.

由  ， 解得 ，

所以   ，

综上  .

【例8】我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．

如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．

（1）       若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；

（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；

（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．

解：（1） ，

，于是，

所求“果圆”方程为，． 

（2）设，则

，

     ， 的最小值只能在或处取到．

     即当取得最小值时，在点或处．                   

    （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．

．

    当，即时，的最小值在时取到，

此时的横坐标是．                                       

    当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．                               

综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；

若，当取得最小值时，点的横坐标是或．