西南师大附中高2009级第七次月考
数 学 试 题（文）
2009年4月
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人
2． “x > 0，y > 
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3． 已知
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
4． 已知函数
，则
的最大值是（ ）
A．8 B．
5． 函数
的图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
6． 设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3 = 8，S6 = 7，则a7 + a8 + a9等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7． 平面上的向量
满足
，若向量
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8． 已知方程组
有两组不同的解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（1，121） B．（1，
） C．（0，） D．（0，121）
9． 反复抛掷一个骰子，依次记录下每一次抛掷落地时向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷，若抛掷五次恰好停止，则记有这五次点数的所有不同记录结果的种数有（ ）
A．360种 B．840种 C．600种 D．1680种
10． 已知P是椭圆
上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若△PF
，则
的值为（ ）
A． B．
C．
D．0
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．
11． 已知双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则a = ．
12． 在
的展开式中，x7的系数是15，则实数a = _______________．
13． 若A为不等式组
表示的平面区域，则当a从? 2 连续变化到1时，动直线
扫过A中的那部分区域的面积为_______________．
14． 已知三棱锥S―ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，
，则三棱锥的体积与球的体积之比是_______________．
15． 以下四个命题：
①△ABC中，A > B的充要条件是
；
②等比数列{an}中，a1 = 1，a5 = 16，则
；
③把函数
的图像向右平移2个单位后得到的图像对应的解析式为
其中正确的命题的序号是_______________．
三、解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16． (本小题满分13分)
已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m =
，n =
，且m?n
= 1．
(1) 求角A；
(2) 若
，求
的值．
17． (本小题满分13分)
甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出．
(1) 求甲队以二比一获胜的概率
；
(2) 求乙队获胜的概率．
18． (本小题满分13分)
设函数
是定义在R上的奇函数，且函数
的图像在x = 1处的切线方程为
．
(1) 求a、b、c的值；
(2) 若对任意
都有
成立，求实数k的取值范围．
19． (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
，且
，侧面
底面
，△PAB是等边三角形．
(1)
求证：
；
(2)
求二面角
的大小．
20． (本小题满分12分)
设正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的
，Sn是
和an的等差中项．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2)
在集合
中，是否存在正整数m，使得不等式
对一切满足n > m的正整数n都成立？若存在，则这样的正整数m共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m的值；若不存在，请说明理由．
21． (本小题满分12分)
设A、B是椭圆
上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
(1)
确定
的取值范围，并求直线AB的方程；
(2) 求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程．
西南师大附中高2009级第七次月考
2009年4月
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．
1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．A 7．C 8．A 9．B 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．
11．4 12．
13．
14．
15．①
三、解答题：本题共6小题，共75分．
16．解：(1) 
∴ 
∵ 
∴ 
∴ 
(2) 
∴
∴
∴
∴ 
17．解：(1) 甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜
，其概率为
(2) 乙队以2∶0获胜的概率为
；
乙队以2∶１获胜的概率为
∴乙队获胜的概率为P2=P'2+Ｐ''2=0.16+0.192=0.352.
18．解：(1) ∵ 函数
是定义在R上的奇函数，
∴ 
∵ 
∴ 
．
又
在
处的切线方程为
，
由
∴ 
，且
， ∴ 
得
(2) 
依题意
对任意
恒成立，
∴ 
对任意
恒成立，即
对任意恒成立，
∴ 
．
19．解法一：(1) 证明：取
中点为
，连结
、
，
∵△
是等边三角形， ∴
又∵侧面
底面
，
∴
底面，
∴为
在底面上的射影，
又∵
，
，
∴
， ∴
，
∴
， ∴
．
(2) 取中点
，连结
、
，
∵
． ∴
．
又∵，
，
∴
平面
，∴，
∴
是二面角
的平面角.
∵
，
，
∴
．
∴
，∴
，∴
，
∴二面角
的大小为
解法二：证明：(1) 取中点为，
中点为
，连结
，
∵△是等边三角形，∴，
又∵侧面底面，∴底面，
∴以为坐标原点，建立空间直角坐标系
如图，
∵
，△是等边三角形，
∴
，
∴
．
∴
．
∵
∴．
(2) 设平面
的法向量为
∵
∴
令
，则
，∴
设平面
的法向量为
，
∵
，∴
，
令
，则
，∴
∴
，
∴
， ∴二面角的大小为
.
20．解：(1) 由题意得，
①，
当
时，
，解得
，
当
时，有
②，
①式减去②式得，
于是，
，
，
因为
，所以
，
所以数列
是首项为
，公差为的等差数列，
所以的通项公式为
（
）．
(2) 设存在满足条件的正整数
，则
，
，
，
又
，
，…，
，
，
，…，
，
所以
，，…，均满足条件，
它们组成首项为，公差为
的等差数列．……（8分）
设共有
个满足条件的正整数，则
，解得
．（10分）
所以，中满足条件的正整数存在，共有
个，的最小值为
．（12分）
21．（Ⅰ）法1：依题意，显然
的斜率存在,可设直线的方程为
，
整理得
． ①
设
是方程①的两个不同的根，
∴
， ②
且
，由
是线段的中点，得
，∴
．
解得
，代入②得，
的取值范围是（12，+∞）．
于是，直线的方程为
，即
法2：设
，
，则有
依题意，
，∴
．
∵
是
的中点，∴
，
，从而
．
又由
在椭圆内，∴
，
∴
的取值范围是
．
直线
的方程为，即
．
(2) ∵
垂直平分，∴直线
的方程为
，即
，
代入椭圆方程，整理得
． ③
又设
，
的中点为
，则
是方程③的两根，
∴
．
到直线的距离
，
故所求的以线段的中点
为圆心且与直线
相切的圆的方程为：
．
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