2009届高考数学快速提升成绩题型训练――数列求通项公式

1. 设数列{a_n}的前项的和S_n=（a_n-1） (n)．

(Ⅰ)求a₁；a₂；

  (Ⅱ)求证数列{a_n}为等比数列．

2  已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n +(-1)ⁿ,n≥1．

（Ⅰ）写出求数列{a_n}的前3项a₁,a₂,a₃；

（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅲ）证明：对任意的整数m>4，有.

3. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m．

4. 若数列满足：．

求证：①；  ②是偶数 ．

5. 已知数列，且,    其中k=1,2,3,…….

（I）                   求；

（II）求{ a_n}的通项公式.

6. 设是常数，且，（）．

证明：．

7. 已知数列的前n项和S_n满足

(Ⅰ)写出数列的前3项      

(Ⅱ)求数列的通项公式．

8. 已知数列满足，，求数列的通项公式。

9. 已知数列满足，求数列的通项公式。

10. 已知数列满足，求数列的通项公式。

11. 已知数列满足，求数列的通项公式。

12. 已知数列满足，求数列的通项公式。

13. 已知数列满足，则的通项

14. 已知数列满足，求数列的通项公式。

15. 已知数列满足，求数列的通项公式。

16. 已知数列满足，求数列的通项公式。

17. 已知数列满足，，求数列的通项公式。

18. 已知数列满足，求数列的通项公式。

19. 已知数列满足，求数列的通项公式。

20. 已知数列满足，求数列的通项公式。

21. 已知数列满足，求数列的通项公式。

22. 已知数列满足，求数列的通项公式。

23. 已知数列满足，求。

24. 已知数列满足，求。

25. 已知数列中，，求。

答案：

1. 解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.

    (Ⅱ)当n>1时,

    得所以是首项,公比为的等比数列．

2. 解：⑴当n=1时,有：S₁=a₁=2a₁+(-1) a₁=1；

当n=2时,有：S₂=a₁+a₂=2a₂+(-1)²a₂=0；

当n=3时,有：S₃=a₁+a₂+a₃=2a₃+(-1)³a₃=2；

综上可知a₁=1,a₂=0,a₃=2；

⑵由已知得：

化简得：

上式可化为：

故数列{}是以为首项, 公比为2的等比数列.

故    ∴

数列{}的通项公式为：.

⑶由已知得：

.

故( m>4).

3. 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）.

（2006年安徽卷）数列的前项和为，

已知．

（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

解：由得：，即，所以，对成立．

由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立．

（Ⅱ）由，得．

而，

，

．

4. 证明：由已知可得：

又=

而=

所以，而为偶数．

5. 解（Ⅰ）（略）

 (II) 

 所以 ，为差型

 故

=．

．

所以{a_n}的通项公式为：

当n为奇数时，；

当n为偶数时， ．

6. 方法（1）：构造公比为―2的等比数列，用待定系数法可知．

方法（2）：构造差型数列，即两边同时除以 得：，从而可以用累加的方法处理．

方法（3）：直接用迭代的方法处理：

．

7. 分析：          -①

由得             -②

由得，，得  -③

由得，，得  -④

用代得        -⑤

①―⑤：

即                    --⑥

8. 解：两边除以，得，则，

故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

9. 解：由

得

则

所以数列的通项公式为

10. 解：由

得

则

所以

11. 解：两边除以，得

，

则，

故

因此，

则

12. 解：因为，所以，则，

则

所以数列的通项公式为

13. 解：因为              ①

所以            ②

所以②式－①式得

则

则

所以

          ③

由，取n=2得，则，又知，则，代入③得

。

14. 解：设        ④

将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，

得            ⑤

由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则