2009届高考数学快速提升成绩题型训练――圆锥曲线

1. 已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以λb- 4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．

(1) 求点P的轨迹E；　w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．

2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F₁、F₂，直线过F₂且与直线F₁F₂的夹角为，且，与线段F₁F₂的垂直平分线的交点为P，线段PF₂与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.

3. 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.

   （1）求曲线C的方程；

   （2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；

   （3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明

4. 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F₁、F₂在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。

（1）    求双曲线C的标准方程；

（2）    若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。

5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。

6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积

7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值

8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。若，求双曲线的方程。

9. 已知圆：x²+y²=c²(c＞0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭圆。

⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数；

⑵设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，求直线l的倾斜角。

10. 已知点（x,y）在椭圆C：（a＞b＞0）上运动

⑴求点的轨迹C^′方程；

⑵若把轨迹C^′的方程表达式记为：y=f(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。

11. 已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，为弦的中点；又函数的图像的一条对称轴的方程是。

（1）    求椭圆的离心率与;

（2）    对于任意一点,试证:总存在角使等式: 成立.

12. 已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y²=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.

(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

13. 如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值.

14. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F₂的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.

   （1）求双曲线C的方程；

   （2）若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.

15. 设分别是椭圆的左，右焦点。

（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，

求点的坐标。

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。

16. 抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足

   （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

   （2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上；

   （3）当时，若点P的坐标为（1，―1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取

值范围.

17. 如图，已知点F（1，0），直线为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若

   （1）求动点P的轨迹C的方程；

   （2）过点M（－1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点。

（Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k₁,k₂，求k₁+k₂

的值；

（Ⅱ）若线段AB上点R满足求证：

RF⊥MF。

18. 已知椭圆C的中心为坐标原点，F₁、F₂分别为它的左、右焦点，直

线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使

   （1）求椭圆C的方程；

   （2）若PQ为过椭圆焦点F₂的弦，且内切圆面积最大时实数的值.

19. 已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.

   （1）求椭圆的方程；

   （2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，点Q分 所成比为λ，点E分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.

20. 已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；

      （2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.

答案：

1. 解　(1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直线AP方程为；…………………………①

又λb - 4a =(λm, - 4), ∴ 直线NP方程为；…………………………②

由①、②消去λ得 ，即 ．

故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x² + y² = 4；

当m > 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆：

当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆．

(2)　假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)² + y² = (4- k)² ;

椭圆E：；其右焦点为F(4 , 0 )，且．

由圆Q与椭圆E的方程联立得2y²- 5kx + 20k- 30 = 0,

设M(x₁, y₁), N(x₂, y₂),  则有， ………………………………………………③

△=25k²- 4×2(20k- 30)，

又 |MF| =, |NF| =, 而；

∴ +,

由此可得　，……………………………………………………………………④

由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．

2. 解  以F₁F₂的中点为原点，F₁、F₂所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为（a>0，b>0），设F₂（c，0），不妨设的方程为，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为，由点Q在双曲线上可得，又，

∴，，∴双曲线方程为.

3. （1）设点T的坐标为，点M的坐标为，则M₁的坐标为（0，），

      ，于是点N的坐标为，N₁的坐标

      为，所以

      由

      由此得

      由

      即所求的方程表示的曲线C是椭圆. ……………………3分

   （2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C

      无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为

      由方程组

      依题意

      当时，设交点PQ的中点为，

      则

      又

      而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.…………7分

   （3）由题意有，则有方程组

        由（1）得  （5）

      将（2），（5）代入（3）有

      整理并将（4）代入得，

      易知

      因为B（1，0），S，故，所以

4. 解： （1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得

∵且的面积为1

∴,

∴

∴

∴双曲线C的标准方程为。

（2）设，联立得

显然否则直线与双曲线C只有一个交点。

即

则

又

∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)

∴即

∴

∴

化简整理得

∴ ，且均满足

当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！

当时，直线的方程为，直线过定点（，0）

∴直线定点，定点坐标为（，0）。

5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。

解：设双曲线的方程为

在双曲线上

 得

所以双曲线方程为

6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积

解：双曲线可化为

设

由题意可得

即

所以

7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值

解：设双曲线的方程为  所以渐近线方程为

到的距离  到的距离

*

又在双曲线上 所以 即

故*可化为

8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。若，求双曲线的方程。

解：在半圆上

在圆上  即 

又

可得

所以双曲线方程为

9. 解：⑴设R(x,y)是圆：x²＋y²=c²上任一点，则S（x,y）在所求椭圆上的点，设S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圆的方程得：故所求的椭圆方程为：椭圆的长半轴的长为c，半焦距为c,故离心率e=与c无关。

⑵设直线l的方程为：x=－c＋tcos