海口市2007年高考适应性测试
数学(理科)试题卷
注意事项：
1．本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效．
2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A?B）＝P（A）?P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 
正态分布密度曲线是下列函数的图像：
，
，其中实数
和
为参数．
特别有：
一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效)
1．设集合
，
，则
等于
A．
B．
C．
D．
2．命题：“设
，
，
，若
，则
”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
A．0 B．
3．已知向量
，
，且
⊥
，则
A．
B．
C． 
D．
4．已知
是函数
的一个零点，则函数
的零点是
A．
B．
C．
D．2或1
5．函数
的最小正周期是
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
，则
的值是
A．
B．
7．二项式
的展开式中，系数最大的项是
A．第5项 B．第6项 C．第5项或第6项 D．第4项或第7项
8．从
名男生和
名女生中选出
人组成一个英语社团，若按性别比例分层抽样，则不同的抽样方法有
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
9．为了了解某地区高三男生的身体发育情况，抽查了该地区
名年龄在
岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重
服从正态分布
，且正态分布密度曲线如图所示，若体重在
属于正常情况，则这名男生中属于正常情况的人数约是
A．
B．
C．
D．
10．如图，已知点
是平面内一定点，动点
在抛物线
上移动，点
是抛物线的焦点，则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
11．在△
中，若
，则△的形状一定是
A．等腰直角三角形 B．直角三角形或等腰三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
12．已知有序实数对
满足不等式组
，则目标函数
的最小值是
A．
B． C．
D．
二．填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分；请把答案填在答题卷中指定的位置)
13．曲线
在
处的切线方程是_______________．
14．设
是虚数单位，且
，则
=______________．
15．如图，类比点到直线的距离公式，平面的方程可表示为
，则点
到平面的距离是_____________．
16．在锐角△中，已知
，
，
，则
=__________．
三．解答题（本大题共5小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）
17．（本小题满分分）
数列
的前项和为
，且
，…，求:
（Ⅰ）
的值；
（Ⅱ）数列的通项公式．
18．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱
中，侧棱垂直于底面，
，
，
，
为
的中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成的角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
某城市的给水系统是由三级提升站组成，每级提升站由3个并列的水泵组成，每个水泵的正常运行率为
.在夜间每个提升站至少要有1台水泵能正常运行，则这个提升站才不需要紧急维修；若一个提升站的3台水泵都不能正常运行，则这个提升站需要紧急维修．
（Ⅰ）求需紧急维修的提升站数
的分布列；
（Ⅱ）假设每个提升站至多紧急维修1次，紧急维修1个提升站的费用为元，求紧急维修费用
（元）的分布列和数学期望．
20．（本小题满分14分）
对于定义域为区间
的函数
，如果
同时满足下列两个条件：
（1）在内是单调函数；
（2）存在区间
，使得在
上的值域为 ．
那么称函数为上的 “封闭函数 ”，
区间 称为“封闭函数 ”的
“封闭区间”．
(Ⅰ)求“封闭函数
”
的“封闭区间”．
(Ⅱ)判断
是否为
上的“封闭函数 ”，并说明理由．
(Ⅲ)是否存在实数
，使函数
是上的“封闭函数 ”?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率
，短半轴长
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
，
分别是椭圆的左、右顶点，直线
：
（
），当点在直线（纵坐标不为
）上移动时，直线
、线段
的延长线与椭圆分别相交于、
两点，且以
为直径的圆恒经过点，求的值．
四．选考题(从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分. 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）
22．如图，直线
是
的割线，
是的切线，且
，求证：
．
23．设直线经过点
，倾斜角为
，圆的方程为：
．
（Ⅰ）求直线的参数方程；
（Ⅱ）以直角坐标系的原点
为极点，轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程．
24．已知：不等式
的解集为，不等式
的解集为，若
，试求实数的取值范围．
海口市2007年高考适应性测试
考 生 填 写 座 位
号 码 的 末 两 位
题 号
一
二
三
四
17
18
19
20
21
22
23
得 分
一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
A
B
A
C
D
D
C
D
得分
评卷人
二．填空题(请把答案填在对应题号的横线上)
13.
. 14．
.
15．
. 16. 
（或
） .
三.解答题（本大题共5小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置.）
17.( 本题满分12分)
解：（Ⅰ）由递推关系
（2分）得，
（3分）；
；
（6分），
（Ⅱ）由
，即
（7分），所以
；.........12分（不单列
扣1分）
18．（本题满分12分）
证明：（Ⅰ） 在三棱柱
中，
∵侧棱垂直底面
，
∴ 四边形
，
，
都是矩形，
又 ∵ 
，
，
，
∴ 
，又 ∵ 
为
中点，
在
中，
，同理，
．
∴ 
，∴ 
，.....4分
在
中，
，
在
中，
，
∴ 
，∴ 
．....6分
又 
，
∴ 
．..........8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴ 直线
与平面
所成的角为
．..........9分
在
中，
∴ 
，...............11分
即 直线
与平面
所成的角的余弦值为
．.......12分
解法二：（Ⅰ）以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设
，
，
，
（3分），则 
，
，
，
∴ 
，
∴
，∴
（5分），
∴ 
，
∴ 
，∴（7分）
又 
，∴ ．....8分
（Ⅱ）设向量
与
的夹角为
，
∵
，
∴
....10分
设直线与平面所成的角为
∵
平面
∴
∴直线与平面所成角的余弦值为.…………………………12分
19．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）每个提升站需要紧急维修的概率为
（2分），不需要紧急维修的概率为
（3分），设需要维修的提升站数为
，则
．
， （4分）
， （5分）
， （6分）
．（7分）
（Ⅱ）∵
，∴ 
的取值是
，则（元）的分布列是：
..................（9分）
∵
，∴
，又 ，
∴ 
．
（或
）
答：紧急维修费用的数学期望是750元．..........12分
20.（本题满分14分）
解： (Ⅰ)设“封闭函数 ” 
的“封闭区间”为
，其中
．
在
上为减函数，故有：
，
解得：
，
，
∴ 
的“封闭区间”为
．.........4分
(Ⅱ)
，令
，得：
....6分
∴ 
在(
，0)上是增函数，在(2 ，+)上也是增函数；在(0 ，2)上是减函数．
显然在上不是单调函数，故不是
上的“封闭函数 ”．...8分
(Ⅲ)假设存在实数
，使函数
是上的“封闭函数 ”且“封闭区间”是，则
(1) 函数在上是单调函数．
，若函数在上是增函数，则
对
恒成立，则：
；解得：
．...10分
(2) 由，知
，故函数在上是增函数，所以， 函数在区间 上是增函数，故有：
，∵，∴
，从而方程
至少有两个不相等的实数根．
又方程有一根为，故：方程
至少有一个不为的根．
∴
，解得：
且
0..........13分
由(1)，(2)知：3．..........14分
21.（本题满分14分）
解：（Ⅰ）∵离心率
，且短半轴长，
∴ 
，∴
，
∴ 椭圆
的方程为
．.............5分
（Ⅱ）设
，则
，
，则
（6分），则直线
的方程为
，联立
，得
（8分），
（或写成：
（8分），
（或
，即 
（8分）
∵ 
，∴ 
）
解之：
，
（10分），
∴ 
（11分），
（或
，
（11分），）
又 ∵、
、
三点共线，∴ 
（12分），而 
，
∴ 
，..............13分
（或
（13分），解之：
......14分）
∵ 
，∴ 
，解之： .........14分．
四．选考题(从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分,满分10分； 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）
你选做_______题(请在横线上注明题号)
解（或证明）：
22.证明：∵
是
的切线，直线
是的割线
∴ 
，（2分）
又 ∵ 
，∴ 
，∴
（5分），
∵ 
，
∴ △
与△
两边对应成比例，且夹角相等（7分），
∴ △∽△（8分）
∴ 
（10分）．
23.解:（Ⅰ）直线
的参数方程是
，即 
..5分
（Ⅱ）设
，则
，
∵
，
（7分），
∴ 
，即圆的极坐标方程为
．.........10分
24.解：由
得 
，∴不等式的解集为
（4分）
∵
∴当
≤1时，为空集，显然成立，......6分
当＞1时，=
......8分
由
得 
或
或
，即，
这与＞1矛盾，
综合上述得：≤1．.......10分
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