安徽省皖南八校2009届高三第二次联考
理科数学
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，请考生务必将答题纸左侧密封线内的项目填写清楚。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，在试题卷上作答无效。
参考公式
如果事件
，
互斥，那么 球的体积公式
如果事件，相互独立，那么 其中
表示球的半径
棱柱的体积公式
如果事忙在一次试验中发生的概率
是
，那么
次独立重复试验中事件 其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高
恰好发生
次的概率 棱锥的体积公式
球的表面积公式 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
第Ⅰ卷 （选择题 共6 0分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若
（
是虚数单位），则
等于
A．
B．
C．
D．
2．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校
专业对视力的要求在0．9以上，则该班学生中能报专业的人数为
A．10 B．
3．已知集合
，则
的充要条件是 A．
B．
C．
D．
4．若
，且
，则
等于
A．56 B．
C．35 D．
5．若
，则实数
等于
A． B．
D．
6．已知奇函数
的定义域为
，当
时，
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
7．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是
A．
B．
C．
D． 
8．在棱长为的正方体
内任取一点
，则点到点的距离小于等于的概率为 A．
B．
C．
D．
9．若向量
，若
，则
等于
A．
B．
C．
D．
10．极坐标方程
表示的曲线为
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
11．已知曲线
，点
，直线
过点且与曲线
相切于点
，则点的横坐标为 A． B．
D．2
12．已知
满足
点
在圆
，则
的最大值与最小值分别为
A．6，3 B．5，
第Ⅱ卷 （非选择题 共9 0分）
二、填空题：本大题共4小题。每小题4分，共l6分。把答案填在题中的横线上。
13．曲线 
的普通方程为
．
14．若数列
的前
项
由如图所示的流程图输出
依次给出，则=
．
15．在计算“
”时，某同学学
到了如下一种方法：先改写第
项：
，由此得
，
．
相加，得
．
类比上述方法，请你计算“
”，其结果写成关于的一次因式的积的形式为
．
16．已知双曲线
的焦距为
，离心率为
，若点
与
到直线
的距离之和
，则的取值范澍是
．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
17．（本小题满分1 2分）
三角形的三内角，
，所对边的长分别为，
，
，设向量
，若
，
（1）求角的大小；
（2）求
的取值范围．
18．（本小题满分1 2分）
甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子，乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子．
（1）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一球，直到取得红球为止，求甲取球次数
的数学期望；
（2）若甲、乙两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为乙胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由．
19．（本小题满分12分）
乙知四棱台（如图）中，底面
是正方形，且
底面，
．
（1）求异面直线
与所成角的余弦值；
（2）试在平面
中确定一个点
，使得
平面
；
（3）求二面角
的余弦值（满足（2））．
20．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为
，公差
，且
成等比数列．
（1）求数列的前项和公式；
（2）设
，数列
的前项和为
，求证：
．
21．（本小题满分12分）
如图，椭圆
为椭圆的左、右顶点．
（1）设
为椭圆的左焦点，证明：当且仅当椭圆上的点在椭圆的左、右顶点时，
取得最小值与最大值；
（2）若椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为l，求椭圆的标准方程；
（3）若直线
与（2）中所述椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且满是
，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．
22．（本小题满分14分）
已知函数
，
（1）当
时，判断在定义域上的单调性；
（2）若在
上的最小值为
，求的值；
（3）若
在
上恒成立，求的取值范围．
皖南八校2009届高三第二次联考?数学试卷
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．C
l1．A 12．C
13．
14．15
15．
16．
提示：
1．D 
．
2．B 视力住0．9以上的频率为
，人数为
．
3．C 
，且
若
，则
且
反之，若
，则
4．B 
，由
，得
．
．
5．A 
．
6．B 
当
时，
，由
得
；
当
时，
；
当
时，
，由
．
7．B 该几何体是上面是正四棱锥，下面为正方体，体积为
．
8．D 
．
9．C 
，
，
，
，
．
10．C 
即，或
．
设
．
则
方程为
．
过点
,
,
,
．
12．C
画出平面区域
，
圆
的圆心
，半径为l，
的最大值为
的最小值为
．
的最大值为
，最小值为
13．
．
， 
．
14．15 
；
；
．
15．
．
16．
．
又
17．解：（1）
， （2分）
． （4分）
由余弦定理，得
． （6分）
（2）
， （7分）
（9分） 
（10分）
（11分）
（12分）
18．解：（1）
的可能取值为l，2，3，4．
（4分）
∴甲取球次数的数学期望
． （6分）
（2）由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色
共有
（种）不同情形，
（8分）
每种情形都是等可能，记甲获胜为事件A，则
（11分）
所以甲获胜的概率小于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平 （12分）
19．解：以
为原点，
、
、
所在的直线为
，
，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
（3分）
（1）
，
即直线
与所成角的余角的余弦值为
（6分）
（2）设
由
平面
得
即
得
，即
为的中点． （9分）
（3）由（2）知
为平面的法向量．
设
为平面
的法向量，
由
即
令
得
，
，
即二面角
的余弦值为
（12分）
（非向量解法参照给分）
20．（1）解：
成等比数列，
，即
又
， （3分）
（5分）
（2）证明： 
． （6分）
是首项为2，公差为2的等差数列，
（7分）
（当且仅当
时取“=”）． ① （9分）
当且仅当
即
时取“=”． ② （11分）
又①②中等号不可能同时取到，
（12分）
21．解：（1）设
．
对称轴方程
．由题意
恒成立， （2分）
在区间
上单凋递增， （3分）
∴当且仅当椭圆
上的点
在椭圆的左、右顶点时
取得最小值与最大值．（4分）
（安徽高中数学网站注：这里用椭圆第二定义根简单直观）
（2）由已知与（1）得：
，
， （5分）
∴椭圆的标准方程为
． （6分）
（3）设
，联立
得
． （7分）
则
又
，（8分）
∵椭圆的右顶点为
，
（9分）
解得：
，且均满足
， （10分）
当
时，的方程为
，直线过定点（2，0），与已知矛盾．
当
时，的方程为
，直线过定点（
，0）， （11分）
∴直线过定点，定点坐标为（，0）． （12分）
22，解：（1）由题意：
的定义域为
，且
．
，故在上是单调递增函数． （2分）
（2）由（1）可知：
① 若
，则
，即
在
上恒成立，此时在上为增函数，
（舍去）． （4分）
② 若
，则
，即
在上恒成立，此时在上为减函数，
（舍去）． （6分）
③ 若
，令
得
，
当
时，
在
上为减函数，
当
时，
在
上为增函数，
（9分）
综上可知：
． （10分）（3）
．
又
（11分）
令
，
在
上是减函数，
，即
，
在上也是减函数，
．
令得
，∴当
在
恒成立时，．（14分）
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