1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数 →整数→有理数→无理数→实数

相关链接：数的发展里程

2．提出问题

    我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

    3．组织讨论，研究问题

    我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？（最根本的问题就是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．）

二、新课内容：

引入新数，并给出它的两条性质

    根据前面讨论的结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：

    （1）；

    （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．

    有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）．

    1．提出复数的概念

    根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如 的数，我们把它们叫做复数．其中a叫做这个复数的实部，b叫做虚部

全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：

(1)N*NZQRC．(2)复数a+bi(a,b为实数)

巩固练习：

例1、下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？4，2-3i,0,-+,5+,6i（教材P104例1）

练习、判断下列命题是否正确：

（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数

（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数

（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数

例2、 实数m分别取什么值时，复数z＝m(m-1)＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ (教材P104例2)

练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m²+m-2＋(m²-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

2．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是

由此容易得出：

例3、  已知x+y+(x-2y)i=2x-5+(3x+y)i,求实数x与y．

分析：因为x，y∈R，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值．

练习：教材P105---练习4

思考：两个复数若不全是实数，能否比较大小？

最简单的虚数单位i和0的大小如何？（若i>0，则i²>0,-1>0不成立；若i<0,则i²>0,-1>0不成立。这样两个复数只要不全是实数，就不能比较大小。）

例4、对于实数x，是否存在实数a，使3x²+(x-a+1)²i>27+(x²+a-ax-1)i，若存在，求出a的范围集合；否则说明理由

解：x-a+1=0=x²+a-ax-1,且3x²>27, a<-2或a>4

三、归纳总结

（1）、虚数单位i的引入；

（2）、复数的代数形式：；

（2）、复数的有关概念：虚数，纯虚数，实部、虚部、复数相等。

[补充习题]

1、复数z=sin2x-i(1-cos2x)是纯虚数，则实数x=____________

2、设z=log₂(m²-3m-3)+ilog₂(m-3),若其实部的范围是(0,1)，则实数m的范围是___________

3、关于x的方程x²-(2i-1)x+2p-i=0有实数根，求实数p的值或范围

[答案]

1、kπ+,k∈Z

2、(4,)

3、p=1/8

备课资料：

        数系的发展历程

数的概念是从生活、生产、科研等社会实践中发展起来的，每一种数的发展均有两个方向：一是其内涵的增容、规范及应用的日臻完善的纵向过程，二是对其出现的不可调和的矛盾而衍生新数的横向发展，在这种纵横交错中，数一步步走向系统完整。

一，正整数在勇往直前中成熟

人类最初只有“无”与“有”这两个描写一天有无猎物或是否见到同伴的词。后来，从“有”中分化出“多”与“少”等模糊的量词。由于具体记数的需要，人们开始用自己的手指，伸出一个手指去说明有一只兔子或抓住一只羔羊，正整数1就这样诞生了，由1而有2、3、4……；为了表示更多的数，人们借助于用具来体现，由于用具选择的不同，体现的规则也不尽相同，从而形成不同的位值数，如：我国以手指记数，指头至十完结，十之后借助于绳子打结，形成“结绳记数”的十进制规则，后逐渐以“结绳”与手指共同记数，成为世界上最早采用十进制的国家；古希腊则“以石记数”，沿用古巴比伦的六十进位制；而中美洲的马雅人采用二十进位制，等。

现在国际上记数符号――数字，为阿拉伯数字，实质是文字诞生较早的印度首先发明和使用的，后传入阿拉伯，十三世纪才由欧洲人将之译成拉丁文而传入欧洲。所以，在欧洲人看来，数字来自阿拉伯而称阿拉伯数字，但在译制过程中，不同时代随社会文明的进步，代码及符号又不尽相同。至1522年，英国的Tonstall所写的书中，才形成现在这种数字写法。

这样，加上一些运算规则，形成了正整数体系的雏形，系统的定义则是在公理化思想、集合概念都出现后，由意大利的Peano于1891年在他的论文《关于数的概念》中提出的，称自然数公理（Peano说的自然数即正整数，不含数字0），其要点是五条公理：①1是自然数；②1不是任何其他自然数的直接后继者；③每个自然数a都有一个后继者；④若a 的后继者与b的后继者相等，则a与b相等；⑤若一个自然数组成的集合S含有1，又若当S含有任意数a时，它一定含有a的后继者，则S含有全体自然数。这样，正整数才真正走到成熟。

二，分数、负数、零的引入，使数在纤纤细步的增容中完成量变的积累

随社会的发展，分配及更精确丈量土地的需要，正整数已不够用，人们引进了分数。世界上最早有关分数的记载，要数埃及的纸草文书，但迟至公元前1650年的Ahmes所著的《获得一切奥秘的指南》，仍将分数化成分子是1再加以计算；我国在公元前100年的《周髀算经》中就有了具体分数的计算，在其后的《孙子算经》及《九章算术》中就明确总结了分数的计算、表示方法，（只不过当时分数的表示方法是分子在上、分母在下、中间无横线，且带分数的整数部分又排在最上面）。现今的分数表示法，迟至1175年中亚西亚的Al-Hassan才在其著作中出现，同时十进制分数西传过程中与印度文化相结合，如：叙利亚的Al-Battanl于十世纪引入正切、余切时采用了小数，使分数在编译过程中改进为另一面貌形式。

负数及运算法则也是我国最先引入的：在《九章算术》中，以收入、余钱、入帐为正，付款、不足、减掉为负，并系统阐述了加减的运算法则，因该书是对前人经验的总结，因此实质负数及其运算规则比它要早些；至1299年，朱世杰编的《算学启蒙》中有了负数乘除法的法则。欧洲对负数的处理是由意大利的Fibonacci提出后又不敢承认，一段时间内将之视作“假数”或“荒诞的数”，至Bcmbell才给出明确的定义，Girdrd将负数与正数等量齐观，并用“-”表示负数，一直沿用至今。

三，跌宕起伏的无理数

远在公元前500年左右，古希腊著名的Pythagores学派就认为：“万物皆数，数皆可归为整数或整数之比，此比称公度比”，即现在的正有理数（因当时欧洲还没有负数及零的概念）；但在公元前五世纪时，该学派的一名成员Hippasus发现：“正方形的对角线与其一边无公度比”，这一发现使该学派成员大为惊慌――居然有人敢反对伟大的Pythagores！在争论和大家的愤怒声讨中，犯了众怒的Hippasus被抛入大海。

Pythagores     Descartes

Hippasus虽然死了，但他的“无公度比”的观念并没有随之消亡。Plato学派的前驱Theodorus又证明了、、也没有公度比，可惜这一学派又不愿接受无理数这一新概念。之后的Eudoxus及Euclid是通过“量”概念的引入，用几何方法处理这种“无公度比”（用现在的话说，就是找近似的有理数来代替这个数），这又基本上将无理数抹杀。在东方的印度，也同样在十二世纪仍将无理数当作有理数加以处理。直至十九世纪的1872年，德国的Dedekind才将之分离出来，为区分以往的数而命名为无理数，将原有的可以化为整数比的数称有理数，并将无理数与有理数统称实数，创建了实数理论；之后的1874年，德国的Cator验证了Dedekind理论的正确性，并证明了“实数与数轴上点一一对应”的理论，至此，完成了真正意义上的实数理论。

四，无聊游戏中出现的复数

人们最早在研究方程时，认为x²+1=0之类的方程必定无解，由于习惯用历史来解释现实与告诉未来，所以人们也就习惯地将“其有解”视作是永不可能的。1545年，意大利的Cardano在其著作《大术》中讨论了这样的问题：“是否可以将十分成二部分，使它们的积等于40”，用现在的话即解方程x²-10x+40=0，他大胆提出了两个解5±(只不过当时不这样记)，Cardano将之称作“诡辩量”，既然是诡辩量，自然在当时也将之视作一种无聊的游戏（它标志着虚数的诞生），正是这一游戏，27年后，意大利的Bembeli在其《代数学》中，用之完整地得到了一元三次方程的求根公式。

但，人们的观念并没有随之带来变化。如：Descartes在1637年的《几何学》中，认为它非实在，故起名为imaginary  number（虚数）！大科学家Newton也不承认它，继续把它当作一种无聊的游戏；Leibniz更是发扬这一传统思想，称：虚数是介于存在与不存在间的无聊的两栖物。

至1747年，法国的D^/Alembert才将虚数与实数并列看待，并将实数与虚数统称为数（当时的实数实质指的是有理数）；1777年，瑞士的Euler系统地建立了复数理论，并首次用i表示虚数单位，发现了复指数函数与三角函数间关系；至1801年，德国的Guass系统地使用了i这个记号及运算法则，将实数与虚数统称复数，并将复数与几何建立了对应关系，复数理论走向了应用。

五，计算机的问世，使“二进制”这一古文明复活

自然界中存在着大量截然相反的状态，如：有与无、大与小、高与底、通与断，既然用十个手指可以用来表示十进制数，那么用两手或两脚也可以记数，这样就形成了二进制记数法。在我国周朝的《易经》中就记载了用不断的横“―”和断开的横“--”表示两种相反的状态，如果将“―”记作现在的1，而“--”视作现在的0，其实就形成了现在的二进制，根据各种文献考证，这一符号诞生于原始社会伏羲时代的“八卦”。但由于二进制表示数很冗长，人们并没有在数学中引起重视，在我国，它却成为算命的理论基础壮大起来。

1698年，德国的Leibniz对中国传去的“八卦”产生了浓厚的兴趣，他预言：这将对科学研究非常重要，并提出了用机器代替人进行逻辑思维活动的设想，为此他还写了一封热情洋溢的信给当时的康熙皇帝，希望与中国学者共同研究八卦，进行文化交流。但当时的“天朝大国”闭关自守，对之自然是“不屑一顾”。

至1847年，英国的Boole-George发表了《逻辑学的数学分析》，紧接着于1854年他又发表《思维规律》，建立了逻辑代数（俗称Boole代数），但这一理论并没有引起人们的重视；直到1936年，美国麻省理工学院的Shannon将逻辑代数用于电子电路后，人们开始认识到：它是电路设计的理论根据和主要分析手段，紧接着于1946年，第一台电子计算机问世，二进制被用来作为计算机的基本数而引起人们的重视；又为解决它表示数太过冗长的致命弱点，开发出八进制、十六进制等等。这样，数冲破了十进制原有的包围，形成了应用数学的燎原之势。

总之，数的发展历程基本呈现：出现早、承认慢、系统理论互关联的特点。

附录      数的发展历程一览表

年代

对应中国年代

国家

主       要         成            就

旧石器晚期

伏羲时代

中国

八卦图出现，标志着数与二进制的诞生

-4200~-2200

黄帝族成契时代~唐尧起时期

中国

象形字诞生，有《洛书》《河图》数学文献

巴比伦

出现以石记数及六十进位制

埃及

象形字出现

-1850

夏槐王朝

埃及

纸草文书中有了分数记载

-1650

夏发王朝

埃及

Ahmes纸草文书中，将分数分子化为1进行计算

-600

周定王5年

巴比伦

泥版文书中以“□”代表零

-400左右

周安王2年

希腊

Hippasus提出了有无理数存在

-300

周赦王15年

希腊

Euclid《几何原本》用近似有理数取代无理数

-100

汉武帝天汉元年

中国

《周髀算经》记载了具体分数的计算

月1世纪

西汉

美国

印第安人马雅族用“□”表示零

100-200

东汉

中国

《九章算术》《孙子算经》含有了分数的运算法则及负数的概念

850

唐宣宗大中4年

印度

Mahavira写成《算术精要》，提出零的运算法则

920

梁末帝贞明5年，契丹太祖神册5年

叙利亚

Al-Battanl引入小数

1299

元成宗大德3年

中国

朱世杰《算学启蒙》有了负数的运算法则

1522

明世宗嘉靖元年

英国

Tonstall首用阿拉伯数字

1545

明世宗嘉靖24年

意大利

Cardana引入诡辩量（复数）

1572

明隆庆6年

意大利

Bcmbelli用复数得出一元三次方程的通解

1585

明万历13年

比利时

Stevin《论十进制》出版

1620

明泰昌元年

荷兰

Girard用“-”表示负数

1637

清崇德2年，明崇祯10年

法

Descartes命名虚数imaginary  number

1689

清康熙28年

德

Leibniz指出八卦对科学研究很重要，提出了用机器代替人进行逻辑思维活动的设想

1747

清乾隆12年

法

D^/Alem将有理数与虚数同样看待

1777

清乾隆42年

瑞士

Euler创立复数论

1801

清嘉庆6年

德

Guass系统将复数与几何建立关系

1847

清道光27年

英

Boole创立逻辑代数

1872

清同治11年

德

Dedekind命名有理数、无理数与实数

1874

清同治13年

德

Cantor证明实数与数轴上点一一对应

1891

清光绪17年

意大利

Peano提出正整数公理

1936

民国25年

美

Shannon将逻辑代数用于电子电路

1946

民国35年

美

第一台电子计算机问世

3.2复数的四则运算（1）――加减与乘法

[教学目标]

[教学重点]复数的加、减、乘运算

[教学难点]复数范围内分解因式

[教学过程]

1、复数的加法与多项式加法类似：a+bi+(c+di)=(a+c)+(c+d)i两个复数的和仍然是一个复数

  容易验证：复数的加法满足交换律和结合律，即：z₁+z₂=z₂+z₁,(z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃)

  2、复数减法怎么办？实数当中，减法是加法的逆运算，即a+b=c,b称c与a的差，记作c-a

  同理，对于复数，c+di+(x+yi)=a+bi,x+yi也称a+bi与c+di的差，记作(a+bi)-(c+di)

由加法定义，c+x=a,d+y=b,解得x=a-c,y=b-d,于是a+bi-(c+di)=(a-c)+(c-d)i两个复数的差仍然是一个复数

  你能总结出复数加减运算的一般规律吗？

两个复数相加减，就是把他们的实部和虚部分别进行加减

 练习：教材P108----1

3、复数的乘法：．

指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式．注意i²=-1

复数乘法也满足交换律、结合律以及分配律．

练习教材P108---2

思考：a>0时，方程x²+a=0在复数范围内的解是什么？(±i)

例1、计算求．

此例的解答可由学生自己完成．（a²+b²）

说明：将a-bi称a+bi的共轭复数，记作=a-bi

思考1：一个复数z，什么情况下是实数？(=z)

思考2：在复数范围内，你能将x²+y²分解因式吗？（x²+y²=(x+yi((x-yi))

例2、在复数范围内分解因式x²+2x+5,

解：x²+2x+5=(x+1)²+4=(x+1+2i)(x+1-2i)

练习:教材P108---3,4,5

，=a-bi，一个复数z是实数=z

[作业]教材P111---1,2,5,6,10

[补充习题]

1、z₁,z₂分别为非零复数，A=z₁+z_2,B=z₁+z₂,问A、B能否比较大小，如果可以，比较它们的大小；不能说明理由

2、判断和什么关系

[答案]

1、可以比较大小，A≤B

2、相等

备课资料：复数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律证明过程

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．证明如下。

设，，

（1）∵

   ∴        

（2）∵

∴            

（3）∵

∴      

3.2复数的四则运算（2）――乘方与除法

[教学目标]

[教学重点]复数的乘方、除法运算

[教学难点]复数综合运算

[教学过程]

二、新课内容：

1、复数乘方与实数乘方类似

  z,z₁,z₂是复数，m、n为正整数，则z^mzⁿ=z^m+n,(z^m)ⁿ=z^mn,(z₁z₂)ⁿ=z₁ⁿz₂ⁿ

真正计算时，涉及了i的乘方，计算i¹,i²,i3,i⁴，i⁵的值，由之你能得到什么结论？

结论：i⁴ⁿ=1,i⁴ⁿ⁺¹=i,i⁴ⁿ⁺²=-1,i⁴ⁿ⁺³=-i

例1、设，求证：（1）；（2）

说明：（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；（2）复数的混合运算也是乘方，乘除，最后加减，有括号应先处括号里面的．

变形1：如果，则与还成立吗？（成立）

变形2：能写出x³=1的三个根吗？（1，，）

2、复数的除法：复数的除法也是乘法的逆运算，z₁z=z₂,称z为z₂和z₁的商 ，记作z=，这样计算除法的总体思路是变成乘法计算

例2、计算

解：[方法一]设=x+yi,(x,y∈R),于是2-i=(3-4i)(x+yi)=3x+4+(3y-4x)i,,于是

，解得，所以=+i

说明：根据除法是乘法的逆运算，常常将除法变成乘法，根据复数相等得到除法的值。

在学习无理数时，要花简一个分母含有根式的式子，我们常常进行分母有理化，如=

=2+，相应的复数是否分母也可以实数化呢？又如何进行实数化？

[方法二] ===+i

说明：复数除法的另一方法是分母实数化，实数化的具体技巧是分子、分母同乘分母的共轭复数

例3、求S=的值

解：S=1+2i+3i²+4i³+…………+100i⁹⁹               ①

iS=   i+2i²+3i³+…………+99i⁹⁹+100i¹⁰⁰        ②

①-②得：(1-i)S=1+i+i²+i³+……+i⁹⁹-100=-100=-100,S===-50(1+i)

备用课堂练习：教材P110----练习题

三、小结：i⁴ⁿ=1,i⁴ⁿ⁺¹=i,i⁴ⁿ⁺²=-1,i⁴ⁿ⁺³=-i

 复数乘方与实数乘方类似

复数除法有两个思路，一根据除法是乘法的逆运算，常常将除法变成乘法，根据复数相等得到除法的值；二是分母实数化，实数化的具体技巧是分子、分母同乘分母的共轭复数

[补充习题]

1、求7-24i的平方根

2、求函数f(n)=()ⁿ+()ⁿ，n∈N的值域

[答案]

1、±(4-3i)

2、{2,0,-2}

3.3复数的几何意义

      [教学目标]

[教学重点]复数减法法则．

[难点]对复数减法几何意义理解和应用．

教学过程设计

一、引入新课

实数与数轴上的点一一对应，复数a+bi取决于什么？能否用几何形式来体现？（板书课题：复数的几何意义）

二、新课内容

1、复数z=a+bi(a,b∈R)取决于点(a,b),而后者可以通过点的坐标来体现，这样建立直角坐标系来表示复数的平面称复平面，x轴称实轴，反应一个复数的实部，y轴称虚轴，除原点外表示复数的虚部。

这样：复数a+bi复平面内的点(a,b)

思考：实数在复平面内的位置落在___________；唇虚数呢？___________

2、点Z(a,b)又与向量对应，这样得到

这样，复数z=a+bi说成点Z或向量，相等的向量表示相同的复数

向量的模叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|=

思考：|z|,||有什么关系？

练习：教材P130----练习1、2、3、4

例1、设z∈Z，满足下列条件的点Z的集合图形是是什么？

(1)|z|=2         (2)2<|z|<3    教材113页例3

3、复数加减法的有什么几何意义？

可以根据向量加减法的几何意义得到。设z=+i（，∈R），z₁=+i（，∈R），对应向量分别为，如图

由于复数减法是加法的逆运算，设z=（-）+（-）i，所以z-z₁=z₂，z₂+z₁=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角线， ₁为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 ₂所表示的向量OZ₂就与复数z-z₁的差（-）+（-）i对应，如图．

在这个平行四边形中与z-z₁差对应的向量是只有向量 ₂吗？ 

还有 ． 因为OZ₂ Z₁Z，所以向量 ，也与z-z₁差对应．向量 是以Z₁为起点，Z为终点的向量．

概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z₁与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．

（1）|z-1-i|=|z+2+i|；（2）|z+i|+|z-i|=4；（3）|z+2|-|z-2|=1．

   思考：对于实数a,b有|ab|=|a||b|,对于向量则有||≤||||,对于复数|z₁z₂|与|z₁||z₂|有什么关系，证明你的结论

[补充习题]

1、复数z₁,z²分别满足|z₁|=1,|z₂|=|z₂-2-2i|,则|z₁-z₂|的范围是_______________

2、(1+i)z₁=-1+5i,z₂=a-2-i,|z₁-|<|z₁|,求a的取值范围

[答案]

1、≥-1，

 2、1<a<7

                                复数的复习

1、概念

⑴形如 的数，我们把它们叫做复数．其中a叫做这个复数的实部，b叫做虚部

⑵两个复数相等充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等

⑶两个复数，只要含有实数就不能比较大小

   2、复数的运算：

⑴a+bi±(c+di)=(a±c)+(c±d)i，两个复数相加减，就是把他们的实部和虚部分别进行加减

⑵，与多项式乘法类似

⑶复数的乘方遵循实数的乘方法则，注意i²=-1

⑷复数的除法，一是设出按乘法及复数相等求出，二是进行分母实数化（分子、分母同成分母的共轭复数）

3、复数的几何意义:

复平面内的点Z(a,b)复数z=a+bi(a,b∈R)向量

⑴两个复数相加减，就是把他们的实部和虚部分别进行加减

⑵复数模的性质：|a+bi|=，

，，；（）；。

   ⑶共轭复数的性质：=a-bi

 z∈Rz=;虚数z为纯虚数z+=0;=, =,=,z=|z|²,

例1、z是虚数，ω=z+,求证：ω∈R的充要条件是|z|=1（教材P118---6）

例2、z₁,z₂,z₃∈C，|z₁|=|z₂|=1,|z₁+z₂|=,求|z₁-z₂|（教材P1118---7）

例3、在复数范围内解关于a,b,c的实系数一元二次方程ax²+bx+c=0

解：原方程可以化为a(x+)²=-c, (x+)²=，b²-4ac≥0时，x=根为实数；如果b²-4ac<0, x+=±，x=跟为一对共轭虚数

练习1：在复数范围内解方程x³+8=0

练习2：在复数范围内分解因式：2x³+16

说明：对于系数为实数的方程，如果有虚数根，其共轭复数也是其一个根