⑴M=  ，非零向量=

⑵ M= ，非零向量=

⑶M＝ ，非零向量＝，

解：⑴ M=  ==3，所以M与共线。

⑵ M=   =，而与不共线。 即此时M与不共线。

⑶M与共线。

二、新课内容：

1、定义：

设二阶矩阵A ，对于实数λ，存在一个非零向量，使得A＝λ，那么λ称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值λ的一个特征向量。

几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一直线上。λ＞0方向不变；λ＜0方向相反；λ＝0，特征向量就被变换成零向量。

思考问题：特征向量与特征值如何求？又有什么用

2、特征向量与特征值的求法

A=，λ为其一个特征值，对应的特征向量为=，根据定义有

=λ，有不全为0的解，于是

=0这样可以求出特征值，代入可以求相应的特征向量

定义：设A=是一个二阶矩阵，λ为实数，则f(λ)==λ²-（a+d）λ+ad-bc称A的特征多项式

例1、求的特征值和特征向量，并从几何角度解释

解：f(λ)==(λ+1)(λ-1)=0,λ=1或λ=-1

λ=1时=，解为y=0，故属于1的特征向量为

λ=-1时=，解为x=0，故属于-1的特征向量为

总之，的特征值为-1及1，属于1的特征向量为；属于-1的特征向量为

关于x轴对称的变换，x轴、y轴上的点对应的向量作用后共线

练习：求矩阵M=  的特征值和特征向量（M= 有两个特征值₁=4，₂=-2，

属于₁=4的一个特征向量为，属于₂=-2的一个特征向量为。）

   3、特征值和特征向量的用途

     M=，λ₁、λ₂为其一个特征值，对应的特征向量为、，则对于任意正整数n及，

Mⁿ=?有没有一般的规律？

由平面向量知识知，存在实数a,b使=a+b, M= M(a+b)=M( a)+M(b)

= a(M)+b(M)=aλ₁+bλ₂，

   M²=M(M)=M( aλ₁+bλ₂)=aλ₁(M)+bλ₂(M)= aλ₁²+bλ₂²

   ………

   Mⁿ= aλ₁ⁿ+bλ₂ⁿ

  这样得到结论：  M=，λ₁、λ₂为其一个特征值，对应的特征向量为、，则对于任意正整数n及， Mⁿ= aλ₁ⁿ+bλ₂ⁿ

例3、 已知：矩阵M= ，向量 = 求M³

解：由上题可知₁ =,₂ =是矩阵M=        分别对应特征值₁=4，₂=-2的两个特征向量，而₁与₂不共线。又==3+=3₁+₂

∴M³= M³(3₁+₂)=3 M³₁+ M³₂ =3₁³₁+₂³₂=3×4³+(-2)³×

     =192×-8×==

练习：已知M＝，＝，试计算M⁵⁰

S2:将所求向量用特征向量表示

S3:根据结论求值