【典型例题】

    【例1】（天津市）（Ⅰ）当，时，抛物线为，

方程的两个根为，．

∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 

（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．

对于方程，判别式≥0，有≤．

①当时，由方程，解得．

此时抛物线为与轴只有一个公共点．

②当时，

时，，

时，．

由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，

应有  即

解得．

综上，或．   

（Ⅲ）对于二次函数，

由已知时，；时，，

又，∴．

于是．而，∴，即．

∴． 

∵关于的一元二次方程的判别式

，  

∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方．

又该抛物线的对称轴，

由，，，

得，

∴．

又由已知时，；时，，观察图象，

可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点．

【例2】（黄石市）（1）设抛物线解析式为，把代入得．

，

顶点

（2）假设满足条件的点存在，依题意设，

由求得直线的解析式为，

它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则．

则，点到的距离为．

又．

．

平方并整理得：

．

存在满足条件的点，的坐标为．

（3）由上求得．

①若抛物线向上平移，可设解析式为．

当时，．

当时，．

或．

．

②若抛物线向下移，可设解析式为．

由，

有．

，．

向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长

【例3】（吉林长春）（1）由

得．

又因为当时，，即，

解得，或（舍去），故的值为．

（2）由，得，

所以函数的图象的对称轴为，

于是，有，解得，

所以．

（3）由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；

由，得函数的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为；

故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点．

【例4】（广西南宁）（1）设=,由图①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，

故利润关于投资量的函数关系式是=；

因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-②所示，函数=的图像过（2，2），

所以，

故利润关于投资量的函数关系式是；

（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），

则投入种植树木（）万元，他获得的利润是万元，根据题意，得

=+==

当时，的最小值是14；

因为，所以

所以

所以

所以，即，此时

当时，的最大值是32.

【学力训练】

1、（广州）（1）y＝0.5x＋１，y＝（2）－６<x<0或x>4

2、（江西省卷）（1）解：答案不唯一，只要合理均可．例如：

①抛物线开口向下，或抛物线开口向上；

②抛物线的对称轴是，或抛物线的对称轴是；

③抛物线经过点，或抛物线经过点；

④抛物线与的形状相同，但开口方向相反；

⑤抛物线与都与轴有两个交点；

⑥抛物线经过点或抛物线经过点；

等等．

（2）当时，，令，

解得．

 ，令，解得．

①点与点对称，点与点对称；

②四点横坐标的代数和为0；

③（或）．

（3），

抛物线开口向下，抛物线