2008年全国各地中考试题压轴题精选讲座七

探究、操作性问题

【知识纵横】

     探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。

【典型例题】

【例1】（江苏镇江)探索研究

如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一

点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．

（1）求证：点为线段的中点；  

（2）求证：①四边形为平行四边形；  ②平行四边形为菱形；

（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．

【思路点拨】（2）①证；②设，证AP=PQ;（3）求直线的解析式与抛物线方程组成联立方程组，讨论方程组解的情况。

【例2】（福建南平）

（1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．

①如图1，求证：；

 ②探究：如图1，         ；

如图2，         ；

如图3，         ．

（2）如图4，已知：是以为边向外所作正边形的一组邻边；是以为边向外所作正边形的一组邻边．的延长相交于点．

①猜想：如图4，         （用含的式子表示）；

②根据图4证明你的猜想．

【思路点拨】（2）②由正边形的内角定理，证_。

【例3】（内江市）

在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．

观察计算

（1）在方案一中，         km（用含的式子表示）；

（2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，         km（用含的式子表示）．

探索归纳

（1）①当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

②当时，比较大小：（填“＞”、“＝”或“＜”）；

（2）请你参考右边方框中的方法指导，

就（当时）的所有取值情况进

行分析，要使铺设的管道长度较短，

应选择方案一还是方案二？

【思路点拨】参考方法指导解答探索

归纳（2）。

【例4】（浙江宁波）如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸的短边长为．

（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：

第一步  将矩形的短边与长边对齐折叠，点落在上的点处，铺平后得折痕；

第二步    将长边与折痕对齐折叠，点正好与点重合，铺平后得折痕．

则的值是        ，的长分别是       ，        ．

（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．

（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“”型图案，它的四个顶点分别在“16开”纸的边上，求的长．

（4）已知梯形中，，，，且四个顶点都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．

【思路点拨】（3）证,，设，建立关于x的方程解之；（4）参考图3分二类情形讨论。

【学力训练】

1、（山东聊城）探索研究：如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪

去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

（1）要使长方体盒子的底面积为48cm²，那么剪去的正方形的边长为多少？

（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；

（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

2、（山东枣庄）把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D₁CE₁（如图乙）．这时AB与CD₁相交于点，与D₁E₁相交于点F．

（1）求的度数；

（2）求线段AD₁的长；

（3）若把三角形D₁CE₁绕着点顺时针再旋转30°得△D₂CE₂，这时点B在△D₂CE₂的内部、外部、还是边上？说明理由．

3、（江苏盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置

关系为   ▲   ，数量关系为   ▲   ．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF

相交于点P，求线段CP长的最大值．

    4、（07丽水市）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形的边落在轴的正半轴上，且∥，，=4，=6，=8．正方形的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形面积．将正方形沿轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形的重叠部分面积为．

（1）分析与计算：

求正方形的边长；

（2）操作与求解：

①正方形平行移动过程中，通过操作、观察，试判断（＞0）的变化情况是       ；

A．逐渐增大    B．逐渐减少    C．先增大后减少   D．先减少后增大

②当正方形顶点移动到点时，求的值；

（3）探究与归纳：

设正方形的顶点向右移动的距离为，求重叠部分面积与的函数关系式．