西安中学
师大附中
高2008届第一次模拟考试
高新一中
长安一中
数学（文）试题
命题人：师大附中 孙永涛
审题人：师大附中 李 涛
注意事项：
1． 本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间150分钟。
2． 答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试题卷指定的位置上。
3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
4． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。
5． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一.选择题（本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合
，
，则
( )
A．
B.
C. 
D. 
2.已知
，下列不等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列函数中，周期是1且是奇函数的是 ( )
A.
B.
C.
D.
4.若函数
，则
等于( )
A.-2
B
5.已知平面向量
，
，若
与
垂直，则
等于( )
A.-1
B
6.当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是( )
A.
B. 
C. 
D. 
7.函数
的值域是( )
A.
B.
C.
D.
8.函数
的单调递减区间是( )
A.
B. 
C. 
D. 
9.在等差数列
中，公差为
，且
，则
等于( )
A.110
B
10.已知双曲线
的一条渐近线的方程是
，则双曲线的离心率是( )
A.
B. 
C. 
D. 
11.若
，则
的大小关系是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
12.对于任意两个正整数
，定义运算
：当都是偶数或都是奇数时，
；当是一偶一奇时，
.设集合
，则集合
中元素的个数是( )
16；
17；
18
19
第II卷
二.填空题（每小题4分，满分16分）
13.设
满足约束条件：
，则
的最大值是 .
14.一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距
海里.此船的航速是 海里/小时.
15.将4本不同的书全部分给3位同学，每人至少1本，则不同的分法数为 .
16.如图，正方体的一个顶点A在平面
内，其余顶点在
平面的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点
到的距离分别为2、3和5，P是正方体的其余四个顶点中
的一个，则P到平面的距离可能是：
①5 ②6 ③7 ④8 ⑤10
以上结论正确的为____________（写出所有正确结论的编号）
三.解答题（满分74分）
17．（12分）
已知
（为常数）.
（Ⅰ）求
的单调递增区间；
（Ⅱ）若在
上的最大值与最小值之和为3，求的值。
18.（12分）在举办的奥运知识有奖问答赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是
，甲、丙两人都回答错的概率是
，乙、丙两人都回答对的概率是
.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少有两人回答对这道题目的概率.
19.（12分）
已知直平行六面体
中,
,
,
是
的中点,
.
（Ⅰ）求证:
平面
（Ⅱ）求二面角
的正弦值.
20.（12分）椭圆
的离心率
，
是椭圆上关于轴均不对称的两点，线段
的垂直平分线与
轴交于点
（Ⅰ）设的中点为
，求
的值；
（Ⅱ）若
是椭圆的右焦点，且
，
求椭圆的方程。
21.（12分）设函数
，已知
是奇函数。
（Ⅰ）求
、
的值。
（Ⅱ）求
的单调区间与极值。
22.（14分） 在等差数列
中，
，前
项和
满足条件
，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记
，求数列
的前项和
。
高2008届四校联考第一次模考
一.选择题（满分60分）
DBDCA DAACA DB
二.填空题（满分16分）
13.3 14.32 15. 36 16.①③④⑤
三.解答题（满分74分）
17. [12分] Ⅰ
，则
，
即的单调递增区间是
…………………………………… 6分
Ⅱ
，那么
即
，所以
……………………………………12分
18. [12分] Ⅰ.设乙、丙各自回答对的概率分别是
，根据题意得：
，解得
，
…………………………………………… 6分
Ⅱ.
………………………… 12分
19. [12分] Ⅰ.证明:因为,
,则
平面
,那么
,又
,所以平面…………………… 4分
Ⅱ.连结
交
于,则
，而平面,则
平面,过作
于
,连结
,则
是所求二面角的平面角.
易求得
,设
,则在
中,
,则
,所以
,那么
,
,
,所以
,在
中,
,故所求二面角的正弦值是
…………………… 12分
20. [12分]（Ⅰ）设
，
，代入椭圆方程
得
，
，两式相减整理得：
，由于
，
；由
得
，则
，即
，所以
………………………………………………………………………… 6分
（Ⅱ）
由于
，那么
，那么
，所以
，
，故所求椭圆的方程是
…………………………………………………………………… 12分
21. [12分] 证明Ⅰ∵
，∴
。从而
＝
是一个奇函数，所以
得
，由奇函数定义得
；…………………… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，从而
，由此可知，
和
是是单调递增区间；
是是单调递减区间；
在
时，取得极大值，极大值为
，在
时，取得极小值，极小值为
。…………………… 12分
22. [14分]Ⅰ设等差数列的公差为
,由
得：
，所以
，即
，所以
.…………………… 6分
（Ⅱ）由
，得
。所以
，
当
时，
；
当
时，
，
即
综上：
…………………… 14分
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