2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：如果事件
互斥，那么
．
已知
是正整数，则
．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知
，复数
的实部为
，虚部为1，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．记等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
一年级
二年级
三年级
女生
373
男生
377
370
3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
4．若变量
满足
则
的最大值是（ ）
A．90 B．80 C．70 D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示
分别是
三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
6．已知命题
所有有理数都是实数，命题
正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．设
，若函数
，
有大于零的极值点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在平行四边形
中，
与
交于点
是线段
的中点，
的延长线与
交于点
．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（一）必做题（9~12题）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
 |
，
．
（注：框图中的赋值符号“
”也可以写成“
”或“
”）
10．已知
（
是正整数）的展开式中，
的系数小于
120，则
．
11．经过圆
的圆心
，且与直线
垂直
的直线方程是 ．
12．已知函数
，，则
的
最小正周期是 ．
二、选做题（13―15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
的极坐标方程分别为
，
，则曲线
与
交点的极坐标为
．
14．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程
有实根，则的取值范围是 ．
15．（几何证明选讲选做题）已知
是圆
的切线，切点为
，
．是圆的直径，
与圆交于点
，
，则圆的半径
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
已知函数
，的最大值是1，其图像经过点
．
（1）求的解析式；
（2）已知
，且
，
，求
的值．
17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为
．
（1）求
的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为
，一等品率提高为
．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
18．（本小题满分14分）
设
，椭圆方程为
，抛物线方程为
．如图4所示，过点
作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为
，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点
．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设
分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点
，使得
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
19．（本小题满分14分）
设
，函数
，
，，试讨论函数
的单调性．
20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥
的底面是半径为
的圆的内接四边形，其中是圆的直径，
，
，
垂直底面，
，
分别是
上的点，且
，过点
作
的平行线交于．
（1）求与平面
所成角
的正弦值；
（2）证明：
是直角三角形；
（3）当
时，求的面积．
21．（本小题满分12分）
设
为实数，
是方程
的两个实根，数列
满足
，
，
（
…）．
（1）证明：
，
；
（2）求数列的通项公式；
（3）若
，
，求的前项和．
绝密★启用前 试卷类型B
2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
一、选择题：C D C C A D B B
1．C【解析】
，而
，即
，
2．D【解析】
，
，故
3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是
，即总体中各个年级的人数比例为
，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
4．C 5．A
6．D【解析】不难判断命题
为真命题，命题
为假命题，从而上述叙述中只有
为真命题
7．B【解析】
，若函数在
上有大于零的极值点，即
有正根。当有成立时，显然有
，此时
，由
我们马上就能得到参数
的范围为
。
8．B
二、填空题：
9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时
也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有
。
10．【解析】
按二项式定理展开的通项为
，我们知道
的系数为
，即
，也即
，而
是正整数，故只能取1。
11．【解析】易知点C为
，而直线与
垂直，我们设待求的直线的方程为
，将点C的坐标代入马上就能求出参数
的值为
，故待求的直线的方程为
。
12．【解析】
，故函数的最小正周期
。
二、选做题（13―15题，考生只能从中选做两题）
13．【解析】由
解得
，即两曲线的交点为
。
14．
15．【解析】依题意，我们知道
,由相似三角形的性质我们有
,即
。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解：（1）依题意有
，则
，将点
代入得
，而
，
，
，故
；
（2）依题意有
，而
，
，
。
17．解：（1）
的所有可能取值有6，2，1，-2；
，
，
故的分布列为：
6
2
1
-2
0.63
0.25
0.1
0.02
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为
，则此时1件产品的平均利润为
依题意，
，即
，解得
所以三等品率最多为
18．解：（1）由
得
，
当
得
，
G点的坐标为
，
， 
，
过点G的切线方程为
即
，
令
得
，
点的坐标为
，
由椭圆方程得
点的坐标为
，
即，
即椭圆和抛物线的方程分别为
和
；
（2）
过
作轴的垂线与抛物线只有一个交点,
以
为直角的
只有一个，同理以
为直角的只有一个。
若以
为直角，设点坐标为
，、
两点的坐标分别为
和
，
。
关于
的二次方程有一大于零的解，
有两解，即以为直角的有两个，
因此抛物线上存在四个点使得
为直角三角形。
19．解： 
，
对于
，
当
时，函数
在
上是增函数；
当
时，函数在
上是减函数，在
上是增函数；
对于
，
当
时，函数在
上是减函数；
当
时，函数在
上是减函数，在
上是增函数。
20．解：（1）在
中，
，
而PD垂直底面ABCD，
,
在
中，
,即为以为直角的直角三角形。
设点
到面
的距离为
,
由
有
,
即 
，
;
(2)
,而
,
即
,
，
,
是直角三角形；
（3）
时
,
,
即
,
的面积
21．解：（1）由求根公式，不妨设
，得
，
（2）设
，则
，由
得，
，消去
，得
，
是方程
的根，
由题意可知，
①当
时，此时方程组
的解记为
即
、
分别是公比为
、
的等比数列，
由等比数列性质可得
,
,
两式相减，得
，
，
，
，即
，
②当
时，即方程有重根，
，
即
，得
，不妨设
，由①可知
，
，
即
，等式两边同时除以
，得
，即
数列
是以1为公差的等差数列，
综上所述，
（3）把
，
代入，得
，解得
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