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    重庆南开中学2008―2009学年度高三月考

    数学试题（理科）

     

    本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总共三个大题，21个小题，总分150分，考试时间为120分钟。

     

    第Ⅰ卷（选择题，共50分）

    一、选择题：（本大题10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

    1．复数：=                                                                                          （    ）

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           A．0                       B．2                        C．               D．

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    2．“”是“成立”的                                                       （    ）

           A．充分不必要条件                                B．必要不充分条件

           C．充分必要条件                                    D．既不充分也不必要条件

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    3．已知等差数列=                    （    ）

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           A．1                       B．2                        C．                     D．3

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    4．直线的位置关系是（    ）

           A．相离                  B．相切                   C．相交                  D．不能确定

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    5．设随机变量ξ服从正态分布=                   （    ）

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           A．p                       B．―p                    C．              D．

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    6．已知半径为R的球O的球面上有A、B、C三个点，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，且A、B的球面距离为R、且B、C的球面距离为R，则A、C的球面距离为（    ）

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           A．R                  B．R                   C．R                D．R

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    7．二项式的展开式中，常数项为                                                         （    ）

           A．30                     B．48                      C．60                     D．120

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    8．口袋中放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列

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    如果的概率为

                                                                                                                           （    ）

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           A．   B．    C．   D．

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           A．是奇函数且是单调函数                     

           B．是奇函数且不是单调函数

           C．是偶函数且是单调函数                     

           D．既不是奇函数也不是偶函数

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    10．如图：是3×3的一个正方形，图中每一个小方格

    都是完全相同的正方形，现从图中的16个顶点

    中任选三个顶点构成三角形，则其中直角三角形

    （如△ABC，△ABC）的个数为      （    ）

           A．160                   B．200                    C．240                   D．260 

    第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

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    二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

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    B={3，4，5}，则=          。

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    12．某校高三数学考试中，对90分以上（含90分）

    的成绩进行统计，频率分布如图所示，130―140

    分数段的人数为60人，则90―110分数段的人

    数为          。

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    13．若实数x、y满足的最大值是            。

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    14．已知若函数

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    在R上处处连续，则实数a的值为         。

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    15．已知直线MN与双曲线C：的左右两支分别交于M，N两点，与双曲线C的右准线相交于P点，点F为右焦点，若的值为            。

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    三、解答题（本大题共6小题；共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

    16．（13分）

    已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若

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       （1）求角A；

    20090520

     

     

     

     

     

     

     

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    17．（13分）

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            大学毕业的小张到甲、乙、丙三个不同的单位应聘，各单位是否录用他相互独立，其被录用的概率分别为、、（允许小张被多个单位同时录用）

       （1）小张没有被录用的概率；

       （2）设录用小张的单位个数为ξ，求ξ的分布列和它的数学期望。

     

     

     

     

     

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    18．（13分）

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    已知数列

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       （1）求的通项公式；

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       （2）若对任意的的取值范围。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    19．（12分）

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    正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中，底面边长为E，F分别是AB1，CB1的中点，O为AC中点，连接B1O交EF于O1，

       （1）求证：D1O1⊥B1O

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    20．（12分）

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    已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线的距离小1。

       （1）求曲线C的方程；

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       （2）若过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设的面积为，（O为坐标原点），求实数的值。

     

     

     

    20090520

     

     

     

     

     

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    21．（12分）

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        已知函数

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       （1）当时，求函数的极值；

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       （2）设的图象与x轴交于线段AB的中点为，过点C作平行于y轴的直线交于点D，求证：函数在点D的切线与y轴不垂直；

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       （3）证明：

     

     

     

     

     

     

     

     

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    一、选择题

    BBACA   DCBBB（分类分布求解）

    二、填空题

    11．{2，7}     12．840    13．1    14．2    15．（圆锥曲线定义）

    16．解：（1）由

       （2）由余弦定理知：

        又

    17．解：设事件A为“小张被甲单位录取”，B为“被乙单位录取”，C为“被丙单位录取”。

       （1）小张没有被录取的概率为：

       （2）小张被一个单位录取的概率为

        被两个单位同时录取的概率为

        被三个单位录取的概率为：所以分布列为：

    ξ

    0

    1

    2

    3

    P

        所以：

    18．解：（1）

       

        所以：

    19．解：（1）连接B1D1，ABCD―A1B1C1D1为四棱柱，

    ，

    则在四边形BB1D1D中（如图），

    得△D1O1B1≌△B1BO，可得∠D1O1B1=∠OBB1=90°，

    即D1O1⊥B1O

       （2）连接OD1，显然：∠D1OB1为所求的角，

    容易计算：∠D1OB1

        所以：

    20．解：（1）曲线C的方程为

       （2）当直线的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，

        当直线m与x轴不垂直时，设直线m的方程为

       代入    ①

        恒成立，

        设交点A，B的坐标分别为

    ∴直线m与曲线C恒有两个不同交点。

    则    ②        ③

     

           当k=0时，方程①的解为

       

           当k=0时，方程①的解为

        综上，由

    21．解：（1）当

        由

    0

    递增

    极大值

    递减

        所以

       （2）

           ①

        由得

            ②

        由①②得：即得：

        与假设矛盾，所以成立

       （3）解法1：由（2）得：

       

        由（2）得：

    解法3：可用数学归纳法：步骤同解法2

    解法4：可考虑用不等式步骤略

     


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