一元二次方程专题复习（一）
【课标要求】
1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).
2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.
3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.
4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.
5. 会解一元二次方程应用题.
【知识梳理】
1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)
四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：
x=
(b2
注意：掌握一元二次方程求根公式的推导；主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”。
2．根的判别式及应用(△=b2
(1)判定一元二次方程根的情况。
(2)确定字母的值或取值范围。
3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=―
，x1?x2=
。
(1)已知一根求另一根及未知系数；
(2)求与方程的根有关的代数式的值；
(3)已知两根求作方程；
(4)已知两数的和与积，求这两个数；
(5)确定根的符号:(x1，x2是方程两根)。
应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以x1、x2为根的一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足△≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x1+x2，两根之积x1x2的代数式的形式，整体代入。
4．一元二次方程的应用：解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程。最后还要注意求出的未知数的值，是否符合实际意义。
【中考主要考点】
①利用一元二次方程的意义解决问题
②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）
③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）
④一元二次方程的解法
⑤一元二次方程根的近似值
⑥建立一元二次方程模型解决问题
⑦利用根的判别式求方程中的字母系数的值和利用根与系数关系求代数式的值
⑧与一元二次方程相关的探索或说理题
⑨与其他知识结合，综合解决问题
一元二次方程的定义、解法
Ø 要点、考点聚焦
1. 加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)
2.熟练地应用不同的方法解方程；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；并体会“降幂法”在解方程中的含义.（其中配方法很重要）
Ø 课前热身
1. 当a__________时，方程ax2＋3x＋1＝0是一元二次方程.
2. 已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一根为__________.
3.一元二次方程x(x-1)=x的解是_____________.
4. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，且a+b+c=0，则方程必有一根为_______.
5. 用配方法解方程x2-4x+2=0,则下列配方正确的是( )
A (x-2)2=2 B (x+2)2=
Ø 典型例题解析
1、关于x的一元二次方程(ax－1)(ax－2) ＝x2－2x＋6中，求a的取值范围___________.
2、已知：关于x的方程x2－6x＋m2－
3、用配方法解方程2x2-x-1=0
【课时训练】
1、关于
的一元二次方程
的一个根是0，则
的值为（ ）
A、
B、
C、或
D、
2、解方程
的最适当的方法（ ）
A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 因式分解法 D. 公式法
3、若a－b＋c＝0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
4、k____________时，(k2－9)x2＋(k－5)x－3＝0不是关于x的一元二次方程.
5、已知方程
，则代数式
_________.
6、解下列方程：
（1）(x－1)2＝4 (2)x2－2x－3＝0 (3)2t2－7t－4＝0（用配方法）
一元二次方程根的判别式
Ø 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程无实数根.
2.一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围．
Ø 课前热身
1.(2008年?西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )
A.m＜1 B. m＜1且m≠0
C.m≤1 D. m≤1且m≠0
2. (2008年?南通市)若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-
=0有两个相等的实数根，则k=
.
3.( 2007巴中市）一元二次方程
的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
4、(2007湖北天门）已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0。请你为m选取一个合适的整数，当m=________时，使得到的方程有两个不相等的实数根；
Ø 典型例题解析
【例1】 已知关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当m为何非负整数时：
(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.
【例2】 已知a，b，c是三角形的三条边，
求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根
【课时训练】
1、（2007巴中市）一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
2、（2007安徽芜湖）已知关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（
）
A. m＞－1 B. m＜－2 C. m ≥0 D. m＜0
3、一元二次方程（1－k）x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
4、求证：关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根。
中考试题
来做
一、填空题
1、关于x的方程
是一元二次方程，则m的取值范围是 ____.
2、若b（b≠0）是关于x的方程
的根，则2b＋c的值为 .
3、方程x2-3x+1=0的根的情况是_______________________________.
4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.
5、在实数范围内定义一种运算“
”，其规则为
,根据这个规则，方程
的解为_________________.
6、如果关于x的一元二次方程
有两个实数根，则k的取值范围是_____________。
7、设
是一元二次方程
的两个根，代数式
的值为___________.
8、
是整数，已知关于x的一元二次方程
只有整数根，则=__________.
二、选择题
1、关于
的方程
的根的情况是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、无实数根 D、不能确定
2、已知方程
有一个根是
，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A、
B、
C、
D、
3、方程
的解是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 无实数根
4、若关于x的一元二次方程
没有实数根，那么k的最小整数值是（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D. 
5、如果是一元二次方程
的一个根，
是一元二次方程
的一个根，那么的值是（ ）
A、1或2
B、0或
C、
或
D、0或3
6、设m是方程
的较大的一根，n是方程
的较小的一根，则
（ ）
A. 
B. 
C. 1
D. 2
三、解答题
1、用配方法解下列方程：
2、已知方程2x2＋(k－9)x＋(k2＋3k＋4)＝0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的根。
3、已知a，b，c是△ABC的三条边长，且方程（a2＋b2）x2－2cx＋1＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。
4、 已知关于x的一元二次方程x2－2mx－
（1）求证：原方程恒有两个实数根。
（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围。
5、方程
的较大根为a，方程
的较小根为b，求
的值.
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