一元二次方程专题复习（二）

           根与系数的关系及其应用

如果一元二次方程ax²＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x₁，x₂，那么

反过来，如果x₁，x₂满足x₁+x₂=p，x₁x₂=q，则x₁，x₂是一元二次方程x²-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．

 【典型例题】

应用一：已知一个根，求另一个根；

例1 ： 方程(1998x)²-1997?1999x-1=0的大根为a，方程x²＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值．

解 : 先求出a，b．

由观察知，1是方程(1998x)²-1997?1999x-1=0的根，于是由韦达定理知，另一根为，于是可得a=1.又从观察知，1也是方程x²＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999．

所以a-b=1-(-1999)=2000．

应用二：求根的代数式的值

不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含，的形式，然后把，的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有：

①     ②

③   ④

⑤

例2：  已知二次方程x²-3x＋1=0的两根为α，β，求：

（1）    （2）   (3)α³＋β³

解：  由韦达定理知 ：      α+β=3，   α?β=1．

（1）   （2）

(3)α³＋β³=(α+β)(α²-αβ+β²)=(α+β)[(α+β)²-3αβ]=3(9-3)=18；

例3： 设方程4x²-2x-3=0的两个根是α和β，求4α²＋2β的值．

解：  因为α是方程4x²-2x-3=0的根，所以

4α²-2α-3＝0，

即   4α²=2α＋3．由韦达定理可知，.所以

4α²+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．

例4：  已知α，β分别是方程x²＋x-1=0的两个根，求2α⁵+5β³的值．

解：  由于α，β分别是方程x²＋x-1=0的根，所以

α²+α-1=0，β²+β-1=0，

即   α²=1-α，β²=1-β．

α⁵=(α²)²?α=(1-α)²α=(α²-2α+1)α=(1-α-2α+1)α= -3α²+2α

= -3(1-α)+2α=5α-3，

β³=β²?β=(1-β)β=β-β²=β-(1-β)=2β-1．所以

2α⁵+5β³=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．

说明：  此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要．

应用三：与两根之比有关的问题；

例5：  已知x₁，x₂是一元二次方程 4x²-(3m-5)x-6m²＝0的两实数根，且，求m的值.

解：  首先，△=(3m-5)²＋96m²＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知

从上面两式中消去k，便得

即   m²-6m+5=0，

所以      m₁=1，m₂=5．

应用四：求作新的二次方程

例6：  求一个一元二次方程，使它的两根分别是。

解：

例7：  已知方程的两根为，求一个一元二次方程，使它两根为和。

    分析：所求方程，只要求出的值即可。

    解：设所求一元二次方程为

   为方程的两根

    ∴由韦达定理

    又

    ∴所求一元二次方程为

    即：

点拨：应用根系关系构造方程，如果方程有两实根，那么方程为，当为分数时，往往化成整系数方程。

应用五：求方程中某些待定字母系数的值

例8：  已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。

    （1）用含m的代数式表示；

    （2）当时，求m的值。

       解：（1）由题意：

    （2）由（1）得：

    解得：

    检验：当时，原方程无实根。

    ∴舍去

    当时，原方程有实根。

    ∴

    点拨：易忽略检验，要学会灵活应用一元二次方程有关概念，及判别式，根系关系。

应用六：判断一元二次方程根的符号

例9：  已知方程.m为何值时，方程有两个正根.

解：.

，

∴m为任何实数时，方程都有两个不相等的实数根.

当方程的两个根都为正数时，有，且.解不等式组

，解得  m>7.  ∴ m>7时，方程有两个正实数根

【模拟试题】

一. 选择题。

  1. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k与另一根分别为（    ）

    A. 2，-1                B. -1，2                C. -2，1                D. 1，-2

  2. 已知方程的两根互为相反数，则m的值是（    ）

    A. 4               B. -4                     C. 1               D. -1

  3. 若方程有两负根，则k的取值范围是（    ）

    A.              B.               C.              D.

  4. 若方程的两根中，只有一个是0，那么（    ）

    A.                      B.

    C.                      D. 不能确定

  5. 方程的大根与小根之差等于（    ）

    A.            B.           C. 1               D.

  6. 以为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（    ）

    A.                      B.

    C.                      D.

7. 若方程组有两组相同的实根，则m=_______________。

    A. 1               B. 2               C. 3               D. 4

二. 填空题。

  7. 关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则m＝________。

  8. 已知一元二次方程两根比2：3，则a，b，c之间的关系是______。

  9. 已知方程的两根，且，则________。

  10. 已知是方程的两根，不解方程可得：________，________。

  11. 已知，则以为根的一元二次方程是______________________________。

12.如果一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根，那么这个矩形的周长是_________

 三. 解答题。

 13. 已知方程的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m的值。

14. 已知方程的两根不解方程，求的值。

15. 已知方程的两根，求作以为两根的方程。

 16. 设是方程的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m的值。

17.已知关于x的方程

（1）当方程有两个相等的实数根，求m的取值，并求出此时方程的根。

（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出m的值，不存在，说明理由。

2007-2008年北京中考数学一元二次方程试题汇编

1.已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实根中，有一个根是0，则m的值为_________________________.

2.已知：关于x的二次方程的一个根为x=1，且有，则的值为_____________________.

3.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （　　）

A.甲        B.乙        C.丙       D. 乙或丙

4.“5?12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修米，所列方程正确的是（    ）

A．           B．

C．           D．

6.已知：关于的一元二次方程．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．

（1）证明：

（2）解：

（3）解：

7.已知：关于x的两个方程 ① 与  ②

方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根

⑴求证方程②的有两根符号相同；

⑵设方程②的两根分别为，若：=1：3，且n为整数，求m的最小整数值.

8.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.

⑴ 求k的取值范围；

⑵ 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值.

9.北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通信公司开发了一种新型通信产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约为400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要赢利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约是多少？（百分号前保留整数，参考数据：）

10.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况请解答以下问题：

⑴ 当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

⑵ 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

11. 某商店有一批衬衫将出售，如果每件盈利40元，每天可售出20件，为了尽快减少库存，增加盈利，商场决定降价出售，经过调查得知，若每件衬衫降价1元，则平均每天多售出2件，问：

（1）每件衬衫应降价多少元时，平均每天可盈利1200元；

（2）商场每天盈利能不能达到1250元，若能达到，每件衬衫应降价多少元？若不能达到，请说明理由。

12. 一块矩形耕地大小尺寸如图1，如果修筑同样宽的两条“之”字形的道路，如图1所示，余下的部分作为耕地．要使耕地的面积为540m²，道路的宽应是多少？

13. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？

14. 在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程为                 .

15.在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

16.如图，有一长方形的地区，长为x千米，宽为12千米，现规划将它分成三部分：甲、乙、丙．甲和乙为正方形．若已知丙地的面积为32平方千米，试求x的值．

16.一块矩形耕地大小尺寸（如图1所示）要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600米²，那么水渠应挖多宽？