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第二单元  函数及其性质

一.选择题

(1)                                                                           （    ）

(2) 下列四组函数中，表示同一函数的是　　　　　　　　　　　　　　　　　（　）

A．                  B．

C．                        D．

(3) 函数的定义域为，那么其值域为　　　　　　　　　　（　）

A．         B．            C．        D．

(4) 设函数f(x) (x∈R)是以3为周期的奇函数, 且f(1)>1, f(2)= a, 则           　　　　　(      )

       A．  a>2         B．  a<-2           C．  a>1          D．  a<-1

(5)设f(x)为奇函数, 且在(-∞, 0)内是减函数, f(-2)= 0, 则x f(x)<0的解集为     　　　 (      )

        A．  (-1, 0)∪(2, +∞)               B．   (-∞, -2)∪(0, 2 ) 

C． (-∞, -2)∪(2, +∞)             D．  (-2, 0)∪(0, 2 ) 

(6) 设函数的反函数定义域为 　　　　　　　　　　　　　(      )

       A．          B．             C．（０，１）            D． 

 (7) 下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是　　　　　　　　　　　　　（　）

Ａ．　　　　　Ｂ．　　　　　　　Ｃ．　　　　　　Ｄ．　

(8)设函数f(x)=, 当x∈[-4, 0]时, 恒有f(x)≤g(x), 则a可能取的一个值是                                                              　　　　　　　　　　　　　 (      )

       A．  -5          B．  5            C．  -            D． 

(9) 已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(-1)=      　　　　(      )

 A．  -2       B．  1         C．  0.5          D．  2

(10) 已知，则下列不等式中成立的一个是　　　　　　　　　　　　　　（ ）

A．            B．             C．          D．

二.填空题

(11) 奇函数定义域是，则         .

(12) 若，则＿＿＿＿         

 (13) 函数在上的最大值与最小值之和为      .

(14) 在R上为减函数，则        .

三.解答题

(15) 记函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：

（Ⅰ）集合M，N；

（Ⅱ） 集合，

(16) 设是奇函数，是偶函数，并且，求

(17) 有一批材料可以建成长为的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积是多少？

(18) 已知二次函数y=f₁(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f₂(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f₁(x)+ f₂(x).

  (Ⅰ) 求函数f(x)的表达式；

(Ⅱ) 证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解.

一选择题:

1.B  

[解析]：=

2.D  

[解析]：∵=|x -1|∴A错

       ∵的定义域是x1, 的定义域是x>1 ∴B错

∵的定义域是x>0 ,的定义域是x0 ∴C错

3.A 

[解析]：只需把x=0，1，2，3代入计算y就可以了

4.D  

[解析]：

5.C 

[解析]：

6.B

[解析]：函数的反函数定义域

就是原函数的值域

而

当时原函数是是减函数，故

7. Ｄ 

[解析]：根据反函数的定义，存在反函数的函数x、y是一一对应的。

8. A  

[解析]：排除法，

              若a=5,则x=0时f(x)=5，g(x)=1, 故A错

若a=,则x= - 4时f(x)= ，g(x)=, 故C错

若a=,则x=0时f(x)= ，g(x)=1, 故D错

9.A  

[解析]：因为函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),所以 即 又

10.D     

[解析]：

故

二填空题:

11. －１   

[解析]：∵是奇函数

∴定义域关于原点对称

即     ∴

12.－５       

[解析]：1 ? 23= - 5

13.    ３      

[解析]：函数在上是增函数，所以最大值为2，最小值为1，它们之和为3

14.

[解析]：∵在R上为减函数  ∴

三解答题

(15)解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

      .

(16) 为奇函数      为偶函数  

从而

（17）设每个小矩形长为x，宽为y，则

(1８) (Ⅰ)由已知,设f₁(x)=ax²,由f₁(1)=1,得a=1, ∴f₁(x)= x².设f₂(x)=(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(,)，B(－,－)

由=8,得k=8,. ∴f₂(x)=.故f(x)=x²+.

(Ⅱ) （证法一）f(x)=f(a),得x²+=a²+,

即=－x²+a²+.在同一坐标系内作出f₂(x)=和

f₃(x)= －x²+a²+的大致图象,其中f₂(x)的图象是以坐

标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f₃(x)与的图象是以(0, a²+)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f₂(x)与f₃(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f₂(2)=4, f₃(2)= －4+a²+，当a>3时,. f₃(2)－f₂(2)= a²+－8>0,当a>3时,在第一象限f₃(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f₂(x)图象的上方.f₂(x)与f₃(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.

（证法二）由f(x)=f(a),得x²+=a²+,即(x－a)(x+a－)=0,得方程的一个解x₁=a.方程x+a－=0化为ax²+a²x－8=0,由a>3,△=a⁴+32a>0,得x₂=, x₃=,x₂<0, x₃>0, ∵x₁≠ x₂,且x₂≠ x₃.若x₁= x₃,即a=,则3a²=, a⁴=4a,得a=0或a=,这与a>3矛盾,∴x₁≠ x₃.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.

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